Proprietà delle strutture algebriche

[celecast]

Come impostare questo esercizio?
Confrontando le risposte fornite (6,8,9) vedo che corrispondono a
8-elementi indicati,
ma come ci si arriva?

Verifica che esiste l’elemento neutro e trova i simmetrici degli elementi indicati
$a**b=a+b-4$
nell'insieme $ZZ$;
con valori $2,0,-1$.

[gugo82]

"celecast":[quote="ghira"][quote="celecast"]A quanto ho capito (e ho già scritto sopra) l'elemento neutro nel caso di un'addizione (a+b-4) è 0

No.

Il libro come definisce l'elemento neutro di un'operazione?[/quote]

Data la struttura $(A,**)$ l'elemento $e in A$ è elemento neutro dell'operazione $**$ se $a**e=e**a=a$.[/quote]
In realtà manca un $AA a in A$... La definizione corretta è:

Data la struttura $(A,**)$ l'elemento $e in A$ è elemento neutro dell'operazione $**$ se $AA a in A$ risulta $a**e=e**a=a$.

Come si applica la definizione?
Vediamo...

Nel nostro caso abbiamo $A = ZZ$ e $**$ è quella definita in $ZZ$ ponendo:

$a ** b := a + b - 4$.

Quello che vogliamo fare è vedere se esiste un elemento $e in ZZ$ tale che per ogni $a in ZZ$ risulta $a ** e = e ** a = a$.
Per com'è definita l'operazione $**$, la condizione $a ** e = a$ è equivalente a scrivere:

$a + e - 4 = a$

(in cui $+$ e $-$ sono le operazioni di somma e differenza usuali in $ZZ$, non una nuova operazione come $**$); quindi un elemento è neutro rispetto a $**$ solo se esso è una soluzione intera dell'equazione letterale:

$a + e - 4 = a$

nell'incognita $e$.
Sappiamo risolvere questa equazione?
Beh, sì, che ci vuole! Dato che $a + e - 4 = a$ è una fetentissima equazione di primo grado in $e$, possiamo applicare le usuali Regole di Trasporto (o i Principi di Equivalenza, a seconda di come te li hanno chiamati a lezione in prima) per ricavare la soluzione: abbiamo:

$a + e - 4 = a\ <=>\ e = a - a + 4$;

ovviamente $a$ e $-a$ al secondo membro si cancellano e troviamo la soluzione (unica!) che è:

$e = 4$.

Quindi $e = 4$ soddisfa $a * e = a$ per ogni scelta di $a in ZZ$ ed è un buon candidato ad essere l'elemento neutro di $**$... Perché solo un candidato?
Beh, perché abbiamo verificato solo metà delle proprietà che individuano l'elemento neutro; rimane da verificare che vale anche l'altra, cioè che per ogni $a in ZZ$ risulta pure $e ** a = a$.
Ma qui possiamo fare una verifica "a mano", perché già sappiamo che $4$ è l'unico candidato buono per essere eletto elemento neutro e basta solo testare che la proprietà valga. Ciò significa che ci basta vedere cosa succede se calcoliamo $4 ** a$: se viene fuori $a$, siamo a posto; altrimenti ci freghiamo: l'elemento neutro $**$ non ce l'ha.
Vediamo... Abbiamo:

$4 ** a = 4 + a - 4 = a$

perché $4$ e $-4$ si cancellano; dunque siamo a cavallo e possiamo concludere che:

$4$ è l'unico elemento neutro in $ZZ$ rispetto all'operazione $**$.

In maniera del tutto analoga, puoi andare a vedere chi sono gli elementi simmetrizzabili in $(ZZ, **)$.
Ricordiamo un po' di definizioni:

Data la struttura $(A, **)$ dotata di elemento neutro $e$ e scelto un elemento $a in A$, si dice che $a$ è simmetrizzabile rispetto a $**$ se esiste $a^\prime in A$ tale:

$a ** a^\prime = a^\prime ** a = e$.

Se $a in A$ è simmetrizzabile, l'elemento $a^\prime in A$ che soddisfa la definizione precedente si chiama simmetrico di $a$.

(questa è presa dal tuo testo, ma rimaneggiata e divisa in due, perché la definizione proposta sul libro fa decisamente schifo )

Come sopra, per capire quali elementi sono simmetrizzabili e quali siano (eventualmente) i loro simmetrici, devi usare la definizione.
Come si usa?
Beh, prova un po' a ragionare come sopra: innanzitutto, ricorda che $A= ZZ$ ed $e=4$; poi chiediti:

[*:2gj4boas] Come si scrivere la condizione $a ** a^\prime = e$?

[/*:m:2gj4boas]
[*:2gj4boas] Se puoi interpretare la condizione $a ** a^\prime = e$ come equazione letterale, chi è l'incognita?

[/*:m:2gj4boas]
[*:2gj4boas] Puoi risolvere l'equazione letterale rispetto all'incognita?
Qual è la soluzione?

[/*:m:2gj4boas]
[*:2gj4boas] La soluzione che hai trovato è il simmetrico di $a$ o devi controllare se è soddisfatta qualche altra condizione?
Se sì, quale? Ed è soddisfatta?

[/*:m:2gj4boas]
[*:2gj4boas] Cosa puoi concludere?[/*:m:2gj4boas][/list:u:2gj4boas]

Prova.

[celecast]

Non ci sono ancora. Se:

$a + e - 4 = a$

e

$e = a + a'$

sostituendo la e, ottengo

$a + a + a' - 4 = a$

e quindi

$a + a' - 4 = 0$.

Se $a = 2$, allora $a' = 2$, mentre la soluzione sul libro dà 6.

[vict85]

È \(a\ast a' = e\), non \(a + a' = e\).
\begin{align*}a\ast a' &= e \\
a + a' - 4 &= 4 \\
a + a' &= 8
\end{align*}

[gabriella127]

La mia impressione è che celecast non ha chiaro proprio il concetto di gruppo e di legge di composizione (o operazione che dir si voglia), perciò si confonde tra * e +.
Se ritenete, spiegatelo voi, che siete algebristi...

(E' il solito discorso di insegnamento/apprendimento 'exercise minded' che si vede spesso nei ragazzi a scuola).

[vict85]

Secondo me non si dovrebbe incominciare il discorso sulle strutture algebriche usando gli insiemi numerici, crea spesso confusione.

@celecast:
Devi capire che la matematica moderna si è evoluta generalizzando i concetti elementari. Si è quindi passati da analizzare i casi particolari ad un tentativo di creare delle regole generali.

Il primo aspetto da considerare è il seguente: una operazione non è altro che una funzione. Generalmente, quando si parla di operazioni, ci si riferisce a quelle tra due elementi, ma esistono strutture algebriche con operazioni tra tre o più elementi[nota]Esistono anche operazioni a una o \(0\) elementi. L'inverso/il simmetrico è una operazione unaria, mentre l'elemento neutro può essere visto come una operazione \(0\)-aria. Ma questi sono aspetti abbastanza secondari per te.[/nota]. Per esempio, per i matematici moderni, l'operazione di somma di due interi è una funzione che associa ad ogni coppia di interi la loro somma. Può sembrare come una questione puramente tecnica, ma una volta che si è tolta l'eccezionalità alle usuali operazioni ci si può chiedere "che proprietà deve avere una operazione binaria affinché valga un certo teorema degli interi?".

Quindi, se il problema fosse il seguente:
Sia \(f(a,b) = a + b + 4\) una funzione. Trovare i seguenti valori:
1) l'elemento \(e\in\mathbb{Z}\) tale che, per ogni \(a\in\mathbb{Z}\), \(f(a,e) = f(e, a) = a\);
2) per ogni \(a\), l'elemento \(a'\) tale che \(f(a,a') = f(a', a) = e\).

Come ci ragioneresti sopra?

[gabriella127]

"vict85":Secondo me non si dovrebbe incominciare il discorso sulle strutture algebriche usando gli insiemi numerici, crea spesso confusione.

Lo trovo molto giusto, non usare gli insiemi numerici aiuterebbe a staccare l'idea di operazione da quella di addizione, sottrazione, etc., che poi è lo scopo dell'astrazione dell'algebra.
Il titolo del thread è proprio 'strutture algebriche', bisognerebbe che fosse chiaro questo, prima di precipitarsi a fare conti con numeri.
(non mi riferisco qua a celecast, non sto dicendo che è celecast che si precipita, parlo di una impostazione generale per far capire meglio le cose agli studenti).

[celecast]

In realtà avevo capito che un'operazione è una funzione, ma non riuscivo a identificare su quali variabili agire. In questo senso mi è stato utile il chiarimento di vict85.
Gli esercizi ovviamente mi servono a mettere alla prova la comprensione.

[vict85]

Allora ti propongo un problema reale. Trova elemento neutro e inverso/simmetrico dell'operazione XOR su \(\mathbb{Z}_2^7\) (il simbolo di questa operazione non è univoco).

L'insieme \(\mathbb{Z}_2\) è l'insieme \(\{0, 1\}\) e \(\mathbb{Z}_2^7\) è l'insieme delle 7-tuple di elementi di \(\mathbb{Z}_2\). Per esempio, \(1001001\) e \(0001101\).

L'operazione XOR è definita nel seguente modo \(a_1a_2\dotsb a_7 \oplus b_1b_2\dotsb b_7 = c_1c_2\dotsb c_7\) dove \(\displaystyle c_i\) è \(0\) se sono uguali e \(1\) altrimenti.

Per esempio \(1001001\oplus 0001101 = 1000100\).

Edit: Mi hanno fatto notare che avevo invertito 1 e 0 nella definizione.

[celecast]

Non riesco neppure a decifrare i simboli.

[vict85]

Lo XOR (anche detto disgiunzione esclusiva) è un particolare operatore logico. Questa è la sua pagina wiki.

Questo problema è un problema informatico in un certo senso. L'insieme è l'insieme dei "numeri" esprimibili con 7 bit e lo XOR è una operazione sui loro bit. Limitato ad un solo bit, l'operazione è la seguente: \(1\oplus 1 = 0 \oplus 0 = 0\) e \(1\oplus 0 = 0 \oplus 1 = 1\). Con numeri da 2 bit si da lo stesso operando sui bit indipendentemente. Per esempio, \(01\oplus 11 = 10\). È più chiaro ora?

[celecast]

Se $1001001*e=1001001$ l'elemento neutro dovrebbe essere $0000000$ (non so come fare il simbolo del più nel cerchio).
Se $1001001*a'=0000000$ il simmetrico dovrebbe essere $1001001$.

[vict85]

Si è corretto. Tieni però conto che l'elemento neutro non dipende dall'elemento che consideri.

[celecast]

Non è, per usare la terminologia delle funzioni, $f(a,e)$ come mi avevi chiarito in un altro post?

[vict85]

No, la formula deve valere per tutte le \(a\) nell'insieme. Però ho effettivamente scelto un insieme troppo grande per enumerarli tutti e probabilmente non hai abbastanza dimestichezza con le dimostrazioni.

In questo caso, la dimostrazione avveniva in 2 passaggi. Il primo consiste nell'osservare che l'operazione è bit a bit e quindi che è sufficiente trovare l'elemento neutro e il simmetrico dell'operazione tra bit. Il secondo consiste nel dimostrare, per enumerazione, che 0 preserva sia 0 che 1.

Per quanto riguarda l'inverso è la stessa cosa. Quello che si dimostra è che ogni elemento è inverso di sé stesso.

[gio73]

Ora ci voglio provare anche io
Chissà che non dica delle cavolate...

da un sacchetto pieno di biglie con su scritti dei numeri ne prendiamo due a caso $a$ e $b$
Sulla prima biglia $a$ c è scritto 8, sulla seconda $b$ c è scritto 13.
Ora vediamo che succede se buttiamo (sostituiamo) questi numeri nell espressione
$a+b-4$
$8+13-4=17$

Bene se mettiamo insieme 8 e 13 il risultato é 17

Prova con la seguente coppia: $-1$ e $3$

E poi con $+5$ e $-4$