Proprietà delle funzioni continue.

[sssebi]

Sto cercando di esercitarmi abbastanza bene per il compito di dopodomani con l'obiettivo di non fare neanche un errore, solo che purtroppo qualche dubbio non manca mai.

Ad esempio ho dei problemi a rappresentare in un grafico la differenza tra il punto di cuspide e il punto angoloso.

E poi c'è questo esercizio che mi ha lasciato un po' perplesso:
Mostrare con un esempio grafico che una funzione può essere definita in un intervallo [a;b] e assumere tutti i valori compresi tra il massimo e il minimo senza essere continua.

Sarei grato a qualcuno se riuscisse a schiarirmi un po' le idee

[giammaria2]

La differenza fra cuspide e punto angoloso si vede bene se inizi il disegno tracciando le tangenti in quel punto. Nel caso della cuspide ce n'è una sola, parallela all'asse y; nel punto angoloso ce ne sono due. Certo, se l'angolo formato fro loro è piccolo (o se è quasi piatto), non si vede bene che sono due e la figura può trarre in inganno.
Per la seconda domanda: disegna una qualsiasi linea continua nell'intervallo dato (va bene anche un segmento), spezzala in due parti e sposta a sinistra quella che era a destra e viceversa.

[sssebi]

Capito... Ma quindi, per quanto riguarda la seconda risposta, è presente un punto dove la funzione perde la continuità e la riprende in un altro punto, nel punto di questa rottura nell'intorno destro la funzione assume un valore e nell'intorno sinistro un altro valore, quindi è un punto di discontinuità?

[giammaria2]

Non capisco bene la tua domanda e avevo dimenticato di dire che la funzione iniziale deve essere tale che f(a) ed f(b) siano diversi. Provo a rispondere nel caso semplice in cui lo spezzamento sia in c, esattamente a metà fra a,b; indico con g(x) la funzione ottenuta. Guardando la parte sinistra della figura, ho g(a)=f(c) e g(c)=f(b); guardando la parte destra, g(c)=f(a) e g(b)=f(c); ovviamente dovrai scartare uno dei due valori indicati per g(c). In ogni caso, in c hai una discontinuità.

[sssebi]

Certo, se f(a) e f(b) assumono lo stesso valore la funzione è continua lo stesso, non ci avevo fatto caso. Bene, ho capito, grazie mille!

[igiul1]

Tieni presente che il punto di discontinuità c deve essere di terza specie.
Devi assegnare un valore alla funzione in c (compreso tra il massimo ed il minimo) e questo non deve essere il limite in c.
Se così non fosse la funzione non assumerebbe tutti i valori compresi tra il minimo ed il massimo.

[sssebi]

Ah ecco, era questo quello che volevo dire prima. Io pensavo invece fosse di prima specie, devo ripassare meglio i punti di discontinuità!

[giammaria2]

Effettivamente la discontinuità di terza specie è la più spontanea ed è anche quella che suggerivo. Potrebbe però anche esserci la prima specie: detto L il limite (per x tendente a c), basta che L sia diverso da f(c) e che nell'intervallo ci sia un'altra x tale che f(x)=L.

[sssebi]

Sì, infatti oggi l'ho svolto in classe alla lavagna e tutto il procedimento era giusto, la prof diceva prima specie, comunque l'importante che l'ho capito. Grazie.

[sssebi]

Oddio, un altro dubbio atroce per il compito di domani!
Se mi da una funzione con un parametro e poi mi chiede per quali valori del parametro la funzione ha massimi e minimi relativi, non riesco a trovare il metodo per svolgerlo! Ho provato con la derivata prima uguale a zero, ma non mi trovo così il valore del parametro! E quindi che dovrei fare?

[^Tipper^1]

$Delta>0$

[giammaria2]

Mirino06, come fai a sapere che c'è un'equazione di secondo grado? Sei un indovino e conosci già l'esercizio? Comunque, il tuo suggerimento ha buone probabilità di centrare il problema. La risposta generale è: per avere un massimo o un minimo (relativi) occorre che la derivata cambi segno, e se la derivata è una funzione continua, per cambiare segno deve annullarsi. Quindi è necessario che l'equazione y'=0 abbia soluzioni.

[sssebi]

Ah ok, infatti ha centrato il problema. Anche se resta il problema che non riesco a capire il perchè! Infatti se ad esempio mi dice determinare il parametro in modo che la funzione non abbia nè massimi, nè minimi non saprei cosa porre. Oppure ancora peggio se mi chiede per quale valore del parametro la funzione presenta solamente un minimo e nessun massimo!

[giammaria2]

Fra poco tempo studierai la risposta completa alle tue domande. Per ora, puoi accontentarti di una approssimativa: una funzione non ha nè massimi nè minimi se è sempre crescente o sempre decrescente, cioè se la disequazione y'>0 è sempre vera o sempre falsa. Quando hai studiato le disequazioni, hai anche imparato che questo succede se la corrispondente equazione non ha soluzioni.
Quano succede che c'è solo un minimo e nessun massimo? Se hai ottenuto una equazione (o disequazione) di secondo grado, mai: ci sono due soluzioni (quindi due cambiamenti di segno) o nessuna (quindi nessun cambiamento); il caso di due soluzioni coicidenti porta anch'esso a nessun cambiamento. Per avere uno solo fra massimo e minimo occorre che la derivata cambi segno una sola volta.

[sssebi]

Mh, cioè quindi se la funzione è

$ y = ax^(3) + 2x^(2) - 3ax $

la derivata prima posta uguale a zero risulta:

$ x = (-2 pm sqrt(4 + 9a^(2) ) ) / 3 $

le soluzioni sono due, ma in che modo il parametro ''a'' dovrebbe avere un minimo e nessun massimo?

[giammaria2]

Mi pareva di averlo detto in modo abbastanza chiaro: è impossibile, perchè se le soluzioni sono due la derivata cambia segno due volte e quindi c'è sia massimo che minimo. Nel tuo esempio, le soluzioni esistono e sono distinte per ogni $a$, quindi ci sono sempre sia massimo che minimo.
Se la soluzione di y'=0 fosse stata $x=(-2 pm sqrt(4-9a^2))/3$, allora ci sarebbero stati massimo e minimo per $-2/3 Un esempio di solo massimo (o minimo) si ha per $y'=a(x-2)(x^2+4a^2)$

[sssebi]

Sì ho capito. Però non capisco perchè il libro mi dice che nella mia funzione se il valore del parametro è nullo (a=0) allora la funzione presenta solamente un minimo e nessun massimo.