Proprietà dei determinanti
Salve a tutti! Ho un problema riguardante i determinanti:
"Applicando le opportune proprietà dei determinanti, dimostrare che
$det((1,a,bc),(1,b,ac),(1,c,ab))=det((1,a,a^2),(1,b,b^2),(1,c,c^2))$
[Suggerimento: si moltiplichi la prima riga per $a$, la seconda per $b$, la terza per $c$, ricordando che così il determinante risulta moltiplicato per $abc$; quindi...]"
Seguendo il suggerimento e applicando successivamente le varie proprietà pervengo alla situazione: $det((abc)((a^2-b^2, a-b),(b^2-c^2,b-c)))=det((a^2-b^2, a-b),(b^2-c^2,b-c))$. Ma è corretto? Si può dedurre l'uguaglianza subito dopo aver moltiplicato le righe, come suggerisce il testo?
"Applicando le opportune proprietà dei determinanti, dimostrare che
$det((1,a,bc),(1,b,ac),(1,c,ab))=det((1,a,a^2),(1,b,b^2),(1,c,c^2))$
[Suggerimento: si moltiplichi la prima riga per $a$, la seconda per $b$, la terza per $c$, ricordando che così il determinante risulta moltiplicato per $abc$; quindi...]"
Seguendo il suggerimento e applicando successivamente le varie proprietà pervengo alla situazione: $det((abc)((a^2-b^2, a-b),(b^2-c^2,b-c)))=det((a^2-b^2, a-b),(b^2-c^2,b-c))$. Ma è corretto? Si può dedurre l'uguaglianza subito dopo aver moltiplicato le righe, come suggerisce il testo?
Risposte
"Applicando le opportune proprietà dei determinanti, dimostrare che
$det((1,a,bc),(1,b,ac),(1,c,ab))=det((1,a,a^2),(1,b,b^2),(1,c,c^2))$
[Suggerimento: si moltiplichi la prima riga per $a$, la seconda per $b$, la terza per $c$, ricordando che così il determinante risulta moltiplicato per $abc$; quindi...]"
$det((1,a,bc),(1,b,ac),(1,c,ab))=1/(abc) det((a,a^2,abc),(b,b^2,abc),(c,c^2,abc))$ adesso divido la terza colonna per abc, in questo modo il determinante risulta moltiplicato per questo fattore e $1/(abc) det((a,a^2,abc),(b,b^2,abc),(c,c^2,abc))=det((a,a^2,1),(b,b^2,1),(c,c^2,1))$ adesso scambio tra loro due volte due colonne per cui $det((a,a^2,1),(b,b^2,1),(c,c^2,1))=det((1,a,a^2),(1,b,b^2),(1,c,c^2))$
Non è proprio immediato, ma quasi
$det((1,a,bc),(1,b,ac),(1,c,ab))=det((1,a,a^2),(1,b,b^2),(1,c,c^2))$
[Suggerimento: si moltiplichi la prima riga per $a$, la seconda per $b$, la terza per $c$, ricordando che così il determinante risulta moltiplicato per $abc$; quindi...]"
$det((1,a,bc),(1,b,ac),(1,c,ab))=1/(abc) det((a,a^2,abc),(b,b^2,abc),(c,c^2,abc))$ adesso divido la terza colonna per abc, in questo modo il determinante risulta moltiplicato per questo fattore e $1/(abc) det((a,a^2,abc),(b,b^2,abc),(c,c^2,abc))=det((a,a^2,1),(b,b^2,1),(c,c^2,1))$ adesso scambio tra loro due volte due colonne per cui $det((a,a^2,1),(b,b^2,1),(c,c^2,1))=det((1,a,a^2),(1,b,b^2),(1,c,c^2))$
Non è proprio immediato, ma quasi
Innanzitutto grazie per la risposta tempestiva! Ma perchè al primo passaggio il determinante è moltiplicato per $1/(abc)$? Non dovrebbe essere moltiplicato per $abc$?
"Andrea90":
Innanzitutto grazie per la risposta tempestiva! Ma perchè al primo passaggio il determinante è moltiplicato per $1/(abc)$? Non dovrebbe essere moltiplicato per $abc$?
Ricapitoliamo
nel primo passaggio le righe sono state moltiplicate per $abc$, quindi il determinante per restare uguale deve essere diviso per il coefficiente $abc$
nel secondo passaggio la colonna viene divisa per $abc$, quindi per non alterare il determinante lo devo moltiplicare per $abc$.
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