Progressioni geometriche: dubbio
Ciao, ho un dubbio su ciò che riguarda la somma dei primi $n$ termini di una progressione geometrica.
Dunque, la formula è: $S_n=a_1[q^n-1]/(q-1)$ E fin qui, tutto apposto.
La cosa che non ho capito inizia ora. Ho sentito dire al prof. che, se si considera invece come primo termine $a_0$, allora $S_n=a_0[q^(n-1)-1]/(q-1)$. Viceversa, se si considera $a_2$, il numeratore diventa $S_n=a_0[q^(n+1)-1]/(q-1)$
Non ho quindi capito quest'ultima parte.
Dunque, la formula è: $S_n=a_1[q^n-1]/(q-1)$ E fin qui, tutto apposto.
La cosa che non ho capito inizia ora. Ho sentito dire al prof. che, se si considera invece come primo termine $a_0$, allora $S_n=a_0[q^(n-1)-1]/(q-1)$. Viceversa, se si considera $a_2$, il numeratore diventa $S_n=a_0[q^(n+1)-1]/(q-1)$
Non ho quindi capito quest'ultima parte.
Risposte
non ho capito bene cosa ci fa quel $a_1$ come fattore moltiplicativo... forse vuoi dire che la somma parte dal secondo termine?
Da quanto ho capito, $a_1$ è il primo termine.
Se io ho una successione geometrica $8-16-32-64-128$, per calcolare la somma di questi 5 termini faccio: $S_5=8*(2^5-1)$ Ho capito quindi che $a_1$ si riferisce al primo termine della successione (in questo caso $8$).
Mi rimane però ancora oscuro l'altro dubbio.
Se io ho una successione geometrica $8-16-32-64-128$, per calcolare la somma di questi 5 termini faccio: $S_5=8*(2^5-1)$ Ho capito quindi che $a_1$ si riferisce al primo termine della successione (in questo caso $8$).
Mi rimane però ancora oscuro l'altro dubbio.
se $a_1$ è il primo termine, allora $a_0$ cos'è?
Non lo so. Forse si riferisce al fatto che come il primo termine della successione può essere anche $a_0$
"Mirino06":
per calcolare la somma di questi 5 termini faccio: $S_5=8*(2^5-1)$
E che fine ha fatto in questa formula il $q-1$ al denominatore che hai scritto nel primo post?
$q-1$ al denominatore è uguale a $1$. Infatti, la ragione era $2$.
Ti consiglierei di guardare questa pagina di Wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_geometrica#Formule specialmente la seconda e la terza uguaglianza.
Nel tuo caso la $a$ è un fattore che sta davanti a tutti i termini della sommatoria, per tanto nelle formule che ti mostra Wikipedia puoi aggiungere la tua $a$ davanti alla formula (come se avessi raccolto). Per me quella $a$ non ha indici, è solo un fattore, credo abbia capito male tu.
Il primo termine della sommatoria è quella che wiki chiama $m$ in $x^m$
Mi rendo conto di non aver risposto a tutti i tuoi dubbi però.
Nel tuo caso la $a$ è un fattore che sta davanti a tutti i termini della sommatoria, per tanto nelle formule che ti mostra Wikipedia puoi aggiungere la tua $a$ davanti alla formula (come se avessi raccolto). Per me quella $a$ non ha indici, è solo un fattore, credo abbia capito male tu.
Il primo termine della sommatoria è quella che wiki chiama $m$ in $x^m$
Mi rendo conto di non aver risposto a tutti i tuoi dubbi però.
"scrittore":
Nel tuo caso la $a$ è un fattore che sta davanti a tutti i termini della sommatoria, per tanto nelle formule che ti mostra Wikipedia puoi aggiungere la tua $a$ davanti alla formula (come se avessi raccolto). Per me quella $a$ non ha indici, è solo un fattore, credo abbia capito male tu.
No scrittore.
Non so se è anche questo ciò che vuole sapere Mirino06 ma è bene sottolineare che è giusto moltiplicare per il termine [tex]$a_1$[/tex] (primo termine della progressione, non è un fattore privo di indici (come dice Wikipedia (non ho letto la voce, quindi mi affido a ciò che hai riferito tu)
)).Si dimostra piuttosto facilmente:
Prendi la progressione geometrica di ragione [tex]$q\not=1$[/tex]:
[tex]$\div a_1 , a_2 , ...., a_n$[/tex]
(NB il simbolo che ho usato per indicare la progressione geometrica non è esatto, poiché generalmente si mettono due pallini sopra e sotto la stanghetta. Un solo pallino si usa per indicare una p. aritmetica, ma non so come farlo
)Chiamiamo con [tex]$s_n$[/tex] la somma di questi [tex]$n$[/tex] termini : [tex]$s_n = a_1+a_2+...+a_n$[/tex] (1)
moltiplichiamo entrambi i membri per [tex]$q$[/tex]:
[tex]$s_n q = a_1 q+ a_2 q +...+ a_n q$[/tex] (2)
ricordo che [tex]$q a_1 = a_2 ; q a_2 = a_3 .... q a_{n-1} = a_n$[/tex]
quindi la (2) diventa:
[tex]$ s_n q =a_2+ a_3+...+ a_n + a_n q$[/tex] (2')
Sottraiamo dalla (2'), la (1), otteniamo:
[tex]$s_n q - s_n = a_n q-a_1$[/tex] cioè:
[tex]$s_n (q-1) = a_n q - a_1$[/tex]
[tex]$s_n = \frac{a_n q - a_1}{q-1}$[/tex] (3)
ma in una progressione geometrica si può vedere che un termine è dato dal prodotto tra il primo termine della progressione e la ragione elevata al numero di termini precedenti al termine considerato, quindi in particolare:
[tex]$a_n = a_1 q^{n-1}$[/tex]
Quindi sostituisco nella (3):
[tex]$s_n = \frac{a_1 q^{n-1} q - a_1}{q-1} = \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$[/tex].
Quindi come hai potuto vedere, [tex]$a_1$[/tex] è il primo termine della progressione.
Il fatto di considerare [tex]$a_0$[/tex] come primo termine o [tex]$a_2$[/tex], è poco significativo, a mio parere.
prova ad esercitarti con il caso più generale prima.
E' semplice, si tratta solo di applicare la formuletta che abbiamo appena trovato.
uffi però...
Sul mio libro fa la sommatoria così:
$q^0+q^1+q^2+....+q^n = sum_(k=0)^n(q^(k)) = (q^(n+1)-1)/(q-1)$
e quindi se tutti i termini hanno un fattore moltiplicativo $a$ diventa così:
$aq^0+aq^1+aq^2+....+aq^n = sum_(k=0)^n(aq^(k)) = a(q^(n+1)-1)/(q-1)$
Per questo intendo che $a$ è solo un fattore che moltiplica tutti i termini e non un termine n-esimo.
Che confusione
Sul mio libro fa la sommatoria così:
$q^0+q^1+q^2+....+q^n = sum_(k=0)^n(q^(k)) = (q^(n+1)-1)/(q-1)$
e quindi se tutti i termini hanno un fattore moltiplicativo $a$ diventa così:
$aq^0+aq^1+aq^2+....+aq^n = sum_(k=0)^n(aq^(k)) = a(q^(n+1)-1)/(q-1)$
Per questo intendo che $a$ è solo un fattore che moltiplica tutti i termini e non un termine n-esimo.
Che confusione
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