Progressioni
Ciao a tutti, ho problema nel risolvere due problemi sulle progressioni.
1) Verificare che in un triangolo isoscele, l'altezza, il lato, il diametro della circonferenza circoscritta formano una progressione geometrica.
2) In un trapezio isoscele le misure della base minore, dell'altezza e della base maggiore sono in progressione geometrica. La base maggiore è tripla dell'altezza e il perimetro è 80 cm. Determinare le lunghezze delle basi e dell'altezza. Grazie
1) Verificare che in un triangolo isoscele, l'altezza, il lato, il diametro della circonferenza circoscritta formano una progressione geometrica.
2) In un trapezio isoscele le misure della base minore, dell'altezza e della base maggiore sono in progressione geometrica. La base maggiore è tripla dell'altezza e il perimetro è 80 cm. Determinare le lunghezze delle basi e dell'altezza. Grazie
Risposte
Ciao,
comincio a risolverti il primo.
Problema 1
Ti descrivo il disegno, così puoi farlo e capire poi il procedimento.
- Disegna la circonferenza
- Disegna il triangolo isoscele inscritto, con la base in orizzontale e il vertice tra i due lati in alto rispetto alla base
- Partendo dal vertice in alto traccia il diametro
- Congiungi la parte inferiore del diametro con gli altri due vertici del triangolo.
- Nomina i quattro vertici, partendo dall'alto in senso orario, A, B, C e D.
- Il punto medio della base, chiamalo H.
Il problema dice che altezza, lato e diametro sono in progressione geometrica. Possiamo tradurre così:
Sappiamo che AH è l'altezza
Considera i triangoli rettangoli ABH e ABC e chiama l'angolo BAC
C.V.D.
Aggiunto 8 minuti più tardi:
Ecco il secondo.
Problema 2
Base minore
Ecco fatto! Spero ti sia stato utile. Se qualcosa non è chiaro chiedi pure per eventuali spiegazioni.
Ciao! :)
comincio a risolverti il primo.
Problema 1
Ti descrivo il disegno, così puoi farlo e capire poi il procedimento.
- Disegna la circonferenza
- Disegna il triangolo isoscele inscritto, con la base in orizzontale e il vertice tra i due lati in alto rispetto alla base
- Partendo dal vertice in alto traccia il diametro
- Congiungi la parte inferiore del diametro con gli altri due vertici del triangolo.
- Nomina i quattro vertici, partendo dall'alto in senso orario, A, B, C e D.
- Il punto medio della base, chiamalo H.
Il problema dice che altezza, lato e diametro sono in progressione geometrica. Possiamo tradurre così:
[math]\frac{h}{l} = \frac{l}{2r} \\[/math]
Sappiamo che AH è l'altezza
[math]h[/math]
, AB il lato [math]l[/math]
e AC il diametro [math]2r[/math]
.Considera i triangoli rettangoli ABH e ABC e chiama l'angolo BAC
[math]\alpha[/math]
.[math]\frac{h}{l} = \cos \alpha \\
\frac{l}{2r} = \cos \alpha \\
\frac{h}{l} = \frac{l}{2r} \\[/math]
\frac{l}{2r} = \cos \alpha \\
\frac{h}{l} = \frac{l}{2r} \\[/math]
C.V.D.
Aggiunto 8 minuti più tardi:
Ecco il secondo.
Problema 2
Base minore
[math]b[/math]
, altezza [math]h[/math]
e base maggiore [math]B[/math]
in progressione geometrica.[math]
P = 80\ \mathrm{cm} \\
B = 3h \\
h = 3b \\
B = 9b \\
P = B + b + 2 \sqrt{h^2 + \left( \frac{B-b}{2}\right)^2} = 80\ \mathrm{cm}\\
P = 10b + 2 \sqrt{9b^2 + 16b^2} = 80\ \mathrm{cm}\\
P = 10b + 10b = 80\ \mathrm{cm}\\
20b=80\ \mathrm{cm}\\
b=4\ \mathrm{cm}\\
h=12\ \mathrm{cm}\\
B=36\ \mathrm{cm}\\[/math]
P = 80\ \mathrm{cm} \\
B = 3h \\
h = 3b \\
B = 9b \\
P = B + b + 2 \sqrt{h^2 + \left( \frac{B-b}{2}\right)^2} = 80\ \mathrm{cm}\\
P = 10b + 2 \sqrt{9b^2 + 16b^2} = 80\ \mathrm{cm}\\
P = 10b + 10b = 80\ \mathrm{cm}\\
20b=80\ \mathrm{cm}\\
b=4\ \mathrm{cm}\\
h=12\ \mathrm{cm}\\
B=36\ \mathrm{cm}\\[/math]
Ecco fatto! Spero ti sia stato utile. Se qualcosa non è chiaro chiedi pure per eventuali spiegazioni.
Ciao! :)
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