Progressione aritmetica
In una progressione aritmetica la somma del quarto e del settimo termine è 85 e la somma del sesto e del tredicesimo è 57. Determinare la somma dei primi dodici termini della progressione.
Risposte
Io l'ho risolto così: chiamiamo d la ragione della progressione aritmetica e $a_n$ il termine n-esimo della progressione.
Si ha che $a_7 = a_4 + 3d$, $a_6 = a_4 + 2d$ e $a_13 = a_4 + 9d$, quindi risolviamo il sistema
$a_4 + (a_4 + 3d) = 85
$(a_4 + 2d) + (a_4 + 9d) = 57
ricavato $a_4$ e d, si ha che $a_1 = a_4 - 3d$ e la somma dei primi 12 termini è
$a_1 + (a_1 + d) + ... + (a_1 + 12d) = 13a_1 + dsum_(n=1)^(12)n = 13a_1+ 91d
Si ha che $a_7 = a_4 + 3d$, $a_6 = a_4 + 2d$ e $a_13 = a_4 + 9d$, quindi risolviamo il sistema
$a_4 + (a_4 + 3d) = 85
$(a_4 + 2d) + (a_4 + 9d) = 57
ricavato $a_4$ e d, si ha che $a_1 = a_4 - 3d$ e la somma dei primi 12 termini è
$a_1 + (a_1 + d) + ... + (a_1 + 12d) = 13a_1 + dsum_(n=1)^(12)n = 13a_1+ 91d
Errata corrige: $12a_1 + dsum_(n=1)^(11)n = 13a_1+ 66d$
Però si può anche trovare la ragione della progressione che dovrebbe essere -8.
Ho editato l'errata corrige perchè mi sono accorto che la somma era solo fra i primi 12 termini. Ora dovrebbe andare bene.
"Davide11":
Però si può anche trovare la ragione della progressione che dovrebbe essere -8.
Infatti si ricava dal sistema.
$a_4+a_7=85$, $a_6+a_13=57$
ricordando la formula
$a_1=a_n-(n-1)d$
allora
A) $a_4=a_1+3d$
B) $a_7=a_1+6d$
C) $a_6=a_1+5d$
D) $a_13=a_1+12d$
pertanto si ottiene il sistema:
${(2a_1+9d=85),(2a_1+17d=57):}$ che ha per soluzione:$a_1=233/4,d=-7/2$
da cui $a_12=233/4+11(-7/2)=79/4$
non è vero che la ragione è -8!
$S_12=(233/4+79/4)/2*12=468
ricordando la formula
$a_1=a_n-(n-1)d$
allora
A) $a_4=a_1+3d$
B) $a_7=a_1+6d$
C) $a_6=a_1+5d$
D) $a_13=a_1+12d$
pertanto si ottiene il sistema:
${(2a_1+9d=85),(2a_1+17d=57):}$ che ha per soluzione:$a_1=233/4,d=-7/2$
da cui $a_12=233/4+11(-7/2)=79/4$
non è vero che la ragione è -8!
$S_12=(233/4+79/4)/2*12=468
non è vero che la ragione è -8!
Ok, ho sbagliato i calcoli.
Enea scusa ma tu sapevi già la soluzione?
si
E dillo 
t'ho aiutato per nulla...
t'ho aiutato per nulla...
"lore":
E dillo
sinceramente non ho capito la tua soluzione...
Il ragionamento è lo stesso tuo, calcolando $a_4$ e d prima che $a_1$.
ok...ora lo rivedo + attentamente.
grazie ciao
grazie ciao
Qualcuno per favore potrebbe darmi un giudizio su qst risoluzione?
chiamo a il numero iniziale e n la ragione
risolvo il sistema di qst 2 equazioni:
$a+3n+a+6n=85$
$a+5n+a+12n=57$
i numeri da 1 a 12 possono essere così scritti:
a
a + n
a + n + n
a + n + n + n
......
a + 11n
Qiundi la somma è data da: 12a + 11*11/2*n.....
E' un po' troppo elementare?
chiamo a il numero iniziale e n la ragione
risolvo il sistema di qst 2 equazioni:
$a+3n+a+6n=85$
$a+5n+a+12n=57$
i numeri da 1 a 12 possono essere così scritti:
a
a + n
a + n + n
a + n + n + n
......
a + 11n
Qiundi la somma è data da: 12a + 11*11/2*n.....
E' un po' troppo elementare?
Purtroppo non ho tempo di verificare, ma così a occhio ti dico che devi sostituire quell' $11/2$ in fondo con un $12/2$
"lore":
Purtroppo non ho tempo di verificare, ma così a occhio ti dico che devi sostituire quell' $11/2$ in fondo con un $12/2$
Non credo... gli n sono disposti secondo 1 tringolo di base 11 e altezza 11....
Ma se ne sei convinto... o qnd lo sarai...apiegamelo x favore....
CIAO CIAO
Questo è il mio procedimento
$a_1 + (a_1 + d) + ... + (a_1 + 11d) = 12a_1 + dsum_(n=1)^(11)n = 12a_1+ 66d
Dove $a_n$ è il termine n-esimo della progressione e d la ragione. Applico la regola $sum_(k=1)^(n)k = (k(k + 1))/2$ che si dimostra per induzione.
$a_1 + (a_1 + d) + ... + (a_1 + 11d) = 12a_1 + dsum_(n=1)^(11)n = 12a_1+ 66d
Dove $a_n$ è il termine n-esimo della progressione e d la ragione. Applico la regola $sum_(k=1)^(n)k = (k(k + 1))/2$ che si dimostra per induzione.
"matematicoestinto":
Qualcuno per favore potrebbe darmi un giudizio su qst risoluzione?
chiamo a il numero iniziale e n la ragione
risolvo il sistema di qst 2 equazioni:
$a+3n+a+6n=85$
$a+5n+a+12n=57$
i numeri da 1 a 12 possono essere così scritti:
a
a + n
a + n + n
a + n + n + n
......
a + 11n
Qiundi la somma è data da: 12a + 11*11/2*n.....
E' un po' troppo elementare?
è identica alla mia
"ENEA84":
[quote="matematicoestinto"]Qualcuno per favore potrebbe darmi un giudizio su qst risoluzione?
chiamo a il numero iniziale e n la ragione
risolvo il sistema di qst 2 equazioni:
$a+3n+a+6n=85$
$a+5n+a+12n=57$
i numeri da 1 a 12 possono essere così scritti:
a
a + n
a + n + n
a + n + n + n
......
a + 11n
Qiundi la somma è data da: 12a + 11*11/2*n.....
E' un po' troppo elementare?
è identica alla mia[/quote]
Scusami allora... ma nn vi ho fatto caso.... la tua mi sembrava diversa.... Bè almeno qst vuol dire ke va bene... ciao
Siete sicuri? Eppure la formula quella è --> Per me ci sta il 12...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo