Prodotto massimo tra termini a somma costante

[donald_zeka]

Come si fa a dimostrare che se $a+b+c=k$ allora il prodotto $abc$ è massimo quando $a=b=c$? Esiste qualche dimostrazione elementare?

[Epimenide93]

Ho una mia dimostrazione, ma uso AM-GM (disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica). Se conosci la disuguaglianza in questione, dal momento che quello che proponi è un esercizio carino e in realtà piuttosto facile, ti consiglio di provare a dimostrarlo da solo. Se non consideri quella disuguaglianza un risultato elementare, passo, non saprei proprio come fare in maniera più semplice. Se non riesci a dimostrarlo ti propongo la mia dimostrazione, ma ti consiglio di fare qualche tentativo.

[donald_zeka]

$(a_1*a_2*a_3)^(1/3)<=(a_1+a_2+a_3)/3$

intendi la disuguaglianza tra la media geometrica di $3$ termini e la loro media aritmetica?
Quindi sostituendo ad $a_1$,$a_2$ e $a_3$ rispettivamente $a$,$b$ e $c$ otterremmo:

$(abc)^(1/3)<=(a+b+c)/3$

$abc<=((a+b+c)/3)^3$

Quindi $abc$ è massimo quando vale il segno di uguaglianza? e quindi quando la media geometrica e aritmetica sono uguali quindi quando tutti i termini sono uguali tra loro? giusto?

[Epimenide93]

Direi che ci sei quasi, ma c'è qualcosa che non mi convince. Non stai usando l'ipotesi \( a + b + c = k\), così la dimostrazione è un po' inconcludente.

[donald_zeka]

$abc<=((a+b+c)/3)^3$

Essendo $a+b+c=k$ una quantità fissata e costante allora anche $((a+b+c)/3)^3$ lo è , $abc$ quindi risulta sempre minore o uguale ad una costante, $abc$ sarà massimo quando varrà il segno di uguaglianza e quindi quando le due medie sono uguali, cioè quando $a=b=c=k/3$
è corretta ora?

[Epimenide93]

Ottimo

[donald_zeka]

Mi scuso per l'off-topic ma ho una piccola domanda riguardo alla precedente questione delle radici quadrate.
Mia sorella ieri alla maturità (io l'affronterò l'anno prossimo ) in un quesito ha scritto:

$m=sqrt(4) $
$m=+-2$

Questo $m$ era il coefficiente angolare di una retta tangente ad una non-ricordo-quale curva, poi però ha scartato il risultato $m=-2$ perchè la retta doveva avere pendenza positiva e dunque ha finito con $m=2$.
Sosteneva appunto che la radice di $4$ fosse $+-2$, le ho spiegato tutta la questione affrontata nel precedente topic sulle radici sul perché è positiva la radice etc e penso abbia capito. La domanda è: secondo te glielo valutano come errore quel passaggio? se si, molto o poco grave?

[Epimenide93]

[ot]Per quanto mi riguarda, è improbabile che venga valutato come un errore (trattandosi della prova di matematica di un liceo e non di un esame scritto di Algebra in un CdL in Matematica), e se dovessero considerarlo tale, è indubbiamente poco grave. In sostanza, dubito possano toglierle punti per un errore simile. Di fatto dal punto di vista matematico è un errore, ma è un errore estremamente diffuso in ambito liceale, per svariati motivi che non mi metterò a discutere; di certo non sarà né la prima né meno della milionesima volta che il prof che correggerà la prova si troverà davanti questo errore, dovrebbe ormai essere abituato a sorvolare senza dargli troppo peso. Probabilmente in altri contesti l'errore avrebbe un peso maggiore, ma in questo caso non dovrebbero esserci problemi di alcun tipo.

In breve, secondo me non lo contano neanche come un errore, e se anche dovessi sbagliarmi, non è un errore grave.[/ot]

[donald_zeka]

ook, grazie

[giammaria2]

Penso anch'io che l'errore non sia grave, perché quasi certamente il punto di partenza era risolvere l'equazione $m^2=4$ ed allora è giusto $m=+-2$ con successiva scelta del segno. Se necessario può dire di essersi confusa col campo complesso: lì ci sono davvero due radici quadrate e si ha $sqrt4=+-2$.
Inoltre alcuni autori considerano due concetti di radice quadrata: quello positivo di cui abbiamo parlato e che chiamano radice in senso aritmetico e quello col doppio segno che chiamano radice in senso algebrico. Anche per questi autori il simbolo $sqrta$ indica il senso aritmetico; ammettono però che possa indicare quello algebrico a condizione che ciò venga detto esplicitamente.