Prodotto di radicali

[ragoo1]

Salve.

Devo verificare la seguente identità nell'insieme dei numeri assoluti:

$root(4)(x+y+2sqrt(xy))*root(4)(x+y-2sqrt(xy))=sqrt(x-y)$

Posso considerare esclusivamente il primo membro.

Il prodotto dei radicandi è una somma per una differenza di espressioni algebriche:

$root(4)((x+y)+2sqrt(xy))*root(4)((x+y)-2sqrt(xy))$

Quindi:

$root(4)(x^2+2xy+y^2-4xy)=root(4)(x^2-2xy+y^2)=root(4)((x-y)^2)=sqrt(x-y)$

Identita confermata.

Ora, la condizione di esistenza dovrebbe essere che $x>=y$ per via del fatto che si ragiona in termini di numeri assoluti.

Senonché devo verificare anche la seguente identità:

$root(4)(x+y+2sqrt(xy))*root(4)(x+y-2sqrt(xy))=sqrt(y-x)$

EDIT: okay, no, dicevo male. Nel primo caso la condizione è effettivamente $x>=y$, nel secondo caso $y>=x$.

[apatriarca]

Nella prima parte hai mostrato che
\[ \sqrt[4]{x + y + 2\sqrt{xy}} \cdot \sqrt[4]{x + y - 2\sqrt{xy}} = \sqrt[4]{(x - y)^2}. \]
A questo punto, devi considerare due casi: \(x \ge y\) e \(y \ge x.\) A seconda del caso in cui ti trovi puoi semplificare la tua espressione in modi diversi:
\[
\sqrt[4]{(x - y)^2} =
\begin{cases}
\sqrt{x - y} & \text{ se } x \ge y \\
\sqrt{y - x} & \text{ se } y \ge x
\end{cases}
\]

[ragoo1]

Questo perchè $(x-y)^2=(y-x)^2$, giusto?

Ma che succede nel caso in cui ho un cubo?

Per esempio:

$root(6)(a+3b+sqrt(12ab))*root(6)(a+3b-sqrt(12ab))*root(3)(a^2+9b^2-6ab)=a-3b$

$root(6)(a+3b+sqrt(12ab))*root(6)(a+3b-sqrt(12ab))*root(3)(a^2+9b^2-6ab)=3b-a$

Se risolvo il primo membro:

$root(6)(a^2+6ab+9b^2-12ab)*root(3)((a-3b)^2)=root(6)(a^2-6ab+9b^2)*root(3)((a-3b)^2)=root(6)((a-3b)^2)*root(3)((a-3b)^2)$

Ah, è a questo punto che posso biforcare l'accrocchio, facendo subentrare le condizioni (come mi pare si dica in gergo tecnico):

$\{(a>=3b),(root(6)((a-3b)^2)*root(3)((a-3b)^2)=root(3)(a-3b)*root(3)((a-3b)^2)=root(3)((a-3b)^3)=a-3b):}$

$\{(a<=3b),(root(6)((3b-a)^2)*root(3)((3b-a)^2)=root(3)(3b-a)*root(3)((3b-a)^2)=root(3)((3b-a)^3)=3b-a):}$

Comunque, questa cosa funziona per via di $(a-3b)^2=(3b-a)^2$, no?

[ragoo1]

Okay, dal momento che si opera in $RR^+$, bisogna tenere presente che la sottrazione è un'operazione problematica.

Ora, considerata questa identità (dal primo post):

$root(4)(x+y+2sqrt(xy))*root(4)(x+y-2sqrt(xy))=sqrt(x-y)$

Suppongo che il modo corretto di procedere sia chiedersi, *subito*, se il risultato dell'espressione $x+y-2sqrt(xy)$ sia effettivamente un valore reale assoluto, ed é pertanto possibile in $RR^+$.

Poiché l'espressione in questione è il quadrato di un binomio il risultato non può che essere nullo o positivo:

$x+y-2sqrt(xy)=(sqrt(x)-sqrt(y))^2$

Ora mi ritrovo con $sqrt(x)-sqrt(y)$. E quindi, di fatto, è qui che subentra la condizione, no? Il risultato di questa sottrazione non può essere un valore negativo perché l'insieme numerico non lo consente.

Dunque:

$\{(x>=y),(root(4)((sqrt(x)+sqrt(y))^2)*root(4)((sqrt(x)-sqrt(y))^2)=sqrt(x-y)):}$

E si prosegue.

Stessa cosa con l'identità successiva:

$\{(x<=y),(root(4)((sqrt(y)+sqrt(x))^2)*root(4)((sqrt(y)-sqrt(x))^2)=sqrt(y-x)):}$

Immagino sia questo il modo ideale di procedere per non sbagliare.

[Noodles1]

"ragoo":
Devo verificare la seguente identità nell'insieme dei numeri assoluti:

$root(4)(x+y+2sqrt(xy))*root(4)(x+y-2sqrt(xy))=sqrt(x-y)$

Premesso che non si comprende che cosa tu intenda per "insieme dei numeri assoluti" e che, tipicamente, si considerano solo i radicali aritmetici, radicando e radicale non negativi indipendentemente dal fatto che l'indice del radicale sia pari o dispari (considerare i radicali algebrici può essere un ginepraio), prima di tutto devi determinare le condizioni richieste dai radicali aritmetici a primo membro:

$\{(xy gt= 0),(x+y+2sqrt(xy) gt= 0),(x+y-2sqrt(xy) gt= 0):} rarr \{(x gt= 0),(y gt= 0):}$

Quindi:

$root(4)(x+y+2sqrt(xy))*root(4)(x+y-2sqrt(xy))=root(4)((sqrtx+sqrty)^2)*root(4)((sqrtx-sqrty)^2)=root(4)((x-y)^2)=sqrt(|x-y|)$

Insomma, poichè:

"apatriarca":
\[
\sqrt[4]{(x - y)^2} =
\begin{cases}
\sqrt{x - y} & \text{ se } x \ge y \\
\sqrt{y - x} & \text{ se } y \ge x
\end{cases}
\]

l'identità è falsa.

[ragoo1]

La consegna è letteralmente "nell'insieme dei numeri assoluti verificare le seguenti identità".

Per insieme dei numeri assoluti intende l'insieme $RR^+$, quindi $x$ e $y$ sono necessariamente non negativi.

Non capisco perchè le identità sono false. Sono entrambe vere (sono due), ma sono condizionate.

[Noodles1]

"ragoo":
... quindi $x$ e $y$ sono necessariamente non negativi.

Ok.

"ragoo":
Non capisco perchè ...

Questa è vera perchè implicitamente condizionata dalla presenza del valore assoluto:

$root(4)(x+y+2sqrt(xy))*root(4)(x+y-2sqrt(xy))=sqrt(|x-y|)$

Questa, proposta nel tuo messaggio di apertura, è falsa proprio perchè non condizionata:

$root(4)(x+y+2sqrt(xy))*root(4)(x+y-2sqrt(xy))=sqrt(x-y)$

Infatti, se:

$x lt y$

il secondo membro, presentando un radicando negativo, non esiste. A meno che, prima di procedere, si debbano determinare le condizioni richieste dai radicali aritmetici anche a secondo membro:

$\{(x gt= 0),(y gt= 0),(x-y gt= 0):}$

Insomma, tutto dipende dalle condizioni iniziali sotto le quali si intende procedere.

"ragoo":
Per insieme dei numeri assoluti intende l'insieme $RR^+$ ...

Non vorrei che, in entrambi i membri, i radicandi debbano essere considerati non negativi.