Prodotti notevoli
Ciao a tutti 
ho un problema sulla scomposizione di questo piccolo polinomio (rimanendo sui reali):
$x^6-1$
Vi faccio vedere dove sono arrivato e il problema che incontro
$x^6-1 = (x-1)(x^5+x^4+x^3+x^3+x+1) = $ dividendo il polinomio di quinto grado per $(x+1)$:
$= (x-1)(x+1)(x^4+x^2+1)$
ora quel polinomio di quarto grado è sempre positivo e non ha radici razionali, tuttavia deve essere riducibile anche se non ha radici perchè di grado superiore al 2
che metodo posso usare per trovare una sua decomposizione?
Grazie mille
ho un problema sulla scomposizione di questo piccolo polinomio (rimanendo sui reali):
$x^6-1$
Vi faccio vedere dove sono arrivato e il problema che incontro
$x^6-1 = (x-1)(x^5+x^4+x^3+x^3+x+1) = $ dividendo il polinomio di quinto grado per $(x+1)$:
$= (x-1)(x+1)(x^4+x^2+1)$
ora quel polinomio di quarto grado è sempre positivo e non ha radici razionali, tuttavia deve essere riducibile anche se non ha radici perchè di grado superiore al 2
che metodo posso usare per trovare una sua decomposizione?
Grazie mille
Risposte
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Cavolo, a capirlo lo capisco, però quando dovrei farlo non riesco a vederlo tra le opzioni non avendo il metodo preciso da applicare, immagino mi serva un po di pratica per padroneggiarlo.
Ho provato ad applicarlo anche al binomio $x^6+1$:
$x^6+1 = (x^2+1)^3-3x^4-3x^2 = (x^2+1)^2 -3x^2(x^2+1) = (x^2+1)[(x^2+1)^2-3x^2] = (x^2+1)[(x^2+1)^2-(\sqrt3 x)^2] = (x^2+1)(x^2+1-\sqrt3x)(x^2+1+\sqrt3 x)$
ti torna?
PS grazie ancora
Ho provato ad applicarlo anche al binomio $x^6+1$:
$x^6+1 = (x^2+1)^3-3x^4-3x^2 = (x^2+1)^2 -3x^2(x^2+1) = (x^2+1)[(x^2+1)^2-3x^2] = (x^2+1)[(x^2+1)^2-(\sqrt3 x)^2] = (x^2+1)(x^2+1-\sqrt3x)(x^2+1+\sqrt3 x)$
ti torna?
PS grazie ancora
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Per semplificare la scomposizione delle differenze di potenze consiglio
1) controllare se applicabile la differenza di quadrati,
2) controllare se è applicabile la somma o la differenza di cubi
3) se non applicabili allora applicare Ruffini
In questo caso si può applicare subito la differenza di quadrati $x^6-1=(x^3-1)(x^3+1)$
A questo punto abbiamo il prodotto tra una differenza e una somma di cubi
$(x^3-1)(x^3+1)=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)$
1) controllare se applicabile la differenza di quadrati,
2) controllare se è applicabile la somma o la differenza di cubi
3) se non applicabili allora applicare Ruffini
In questo caso si può applicare subito la differenza di quadrati $x^6-1=(x^3-1)(x^3+1)$
A questo punto abbiamo il prodotto tra una differenza e una somma di cubi
$(x^3-1)(x^3+1)=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)$
Un po’ più complicato è il caso della scomposizione di una somma di potenze seste che all’inizio è una somma di cubi e poi bisogna agire in modo un po’ diverso
$x^6+1=(x^2+1)(x^4-x^2+1)=(x^2+1)(x^4+2x^2+1-3x^2)$ la seconda parentesi si scompone come hai già fatto tu. Tuttavia gli studenti delle classi prime, non avendo ancora studiato i radicali, si fermano al primo passaggio della scomposizione.
$x^6+1=(x^2+1)(x^4-x^2+1)=(x^2+1)(x^4+2x^2+1-3x^2)$ la seconda parentesi si scompone come hai già fatto tu. Tuttavia gli studenti delle classi prime, non avendo ancora studiato i radicali, si fermano al primo passaggio della scomposizione.
Grazie mille Melia, cercavo proprio questa scaletta mentale!
Quindi, traducendo i punti in matematichese
1) controllare se essenzialmente $a^n-b^n$ è riscrivibile in una forma $(x+ y)(x-y)$
2) controllare se è riscrivibile come $(x-y)(x^2+xy+y^2)$ o $(x-y)(x^2-xy+y^2)$
3) applicare Ruffini, cioè trovare eventuali radici e dividere il polinomio per $(x- radice)$
ho capito bene?
Quindi, traducendo i punti in matematichese
1) controllare se essenzialmente $a^n-b^n$ è riscrivibile in una forma $(x+ y)(x-y)$
2) controllare se è riscrivibile come $(x-y)(x^2+xy+y^2)$ o $(x-y)(x^2-xy+y^2)$
3) applicare Ruffini, cioè trovare eventuali radici e dividere il polinomio per $(x- radice)$
ho capito bene?
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