Procedimento Geometria analitica della retta
Salve, oggi ho incontrato questo problema con le formule della distanza di un punto dalla retta, e ponendo prima la retta perpendicolare a quella indicata. Solo che così nel risultato non riesco a capire, dove ottenere le incognite, x e y.
Questo è il testo dell'esercizio.
Determinare le rette perpendicolari a 2x –4y + 1 = 0 che distano 5 dal punto (0, 4).
Il risultato indicato nell'esercizio è 2x + y –4 ±55= 0.
Potreste indicarmi i passaggi da eseguire???
Grazie in anticipo!
Questo è il testo dell'esercizio.
Determinare le rette perpendicolari a 2x –4y + 1 = 0 che distano 5 dal punto (0, 4).
Il risultato indicato nell'esercizio è 2x + y –4 ±55= 0.
Potreste indicarmi i passaggi da eseguire???
Grazie in anticipo!
Risposte
Ti do le linee guida che secondo me dovresti seguire ed i numeri che dovrebbero saltarti fuori ai vari passaggi, poi se non hai capito tutto discutiamo. Preferirei non metterti il procedimento completo perché così puoi "scoprire" autonomamente la soluzione ragionando un po' da te.
1) La retta $a: 2x-4y+1=0$ la devi riscrivere come
$y=m_a *x + q_a$.
2)La retta perpendicolare ad $a$ la potresti per esempio chiamare b e definirla così:
$b:y=m_(\bot)*x+q_(\bot)$
3)Da quanto immagino ti sia stato detto a scuola, essendo che $a$ e $b$ devono essere perpendicolari tra loro il prodotto delle loro rispettive pendenze (o coefficienti angolari che così il gergo è proprio aulico), deve essere pari a $-1$, quindi poni:
$m_a*m_(\bot)=-1$
4) A questo punto dovresti essere in grado di riscrivere l'equazione della retta $b$ in questo modo:
$b: m_a*y+x-q_(\bot)*m_a=0$
$b: x+m_a*y-q_(\bot)*m_a=0$
A questo punto dovresti già avere una bozza di equazione della retta, e quindi ti manca solo il termine noto $q_(\bot)$.
Nota la formula della distanza retta punto, e sapendo che il tuo punto ha coordinate $(x_0;y_0)$ (nel tuo caso $x_0=0$ e $y_0=4$ dovresti essere in grado di impostare una semplice equazione, cioè la seguente:
$(|1*x_0+m_a*y_0-q_(\bot)*m_a|)/(sqrt(1^2+m_a^2))=5$
Poi c'è un equazione con il valore assoluto da risolvere che comunque non ti dovrebbe risultare troppo difficile secondo me. Comunque il risultato che hai scritto non è corretto, manca la radice quadrata su uno dei due cinque del 55.
Ciao.
1) La retta $a: 2x-4y+1=0$ la devi riscrivere come
$y=m_a *x + q_a$.
2)La retta perpendicolare ad $a$ la potresti per esempio chiamare b e definirla così:
$b:y=m_(\bot)*x+q_(\bot)$
3)Da quanto immagino ti sia stato detto a scuola, essendo che $a$ e $b$ devono essere perpendicolari tra loro il prodotto delle loro rispettive pendenze (o coefficienti angolari che così il gergo è proprio aulico), deve essere pari a $-1$, quindi poni:
$m_a*m_(\bot)=-1$
4) A questo punto dovresti essere in grado di riscrivere l'equazione della retta $b$ in questo modo:
$b: m_a*y+x-q_(\bot)*m_a=0$
$b: x+m_a*y-q_(\bot)*m_a=0$
A questo punto dovresti già avere una bozza di equazione della retta, e quindi ti manca solo il termine noto $q_(\bot)$.
Nota la formula della distanza retta punto, e sapendo che il tuo punto ha coordinate $(x_0;y_0)$ (nel tuo caso $x_0=0$ e $y_0=4$ dovresti essere in grado di impostare una semplice equazione, cioè la seguente:
$(|1*x_0+m_a*y_0-q_(\bot)*m_a|)/(sqrt(1^2+m_a^2))=5$
Poi c'è un equazione con il valore assoluto da risolvere che comunque non ti dovrebbe risultare troppo difficile secondo me. Comunque il risultato che hai scritto non è corretto, manca la radice quadrata su uno dei due cinque del 55.
Ciao.
"ogard90":
Determinare le rette perpendicolari a 2x –4y + 1 = 0 che distano 5 dal punto (0, 4).
Il risultato indicato nell'esercizio è 2x + y –4 ±55= 0.
Immagino che il risultato sia $2x+y–4 ±5sqrt(5)=0$
Per prima cosa sistema l'equazione della retta nel formato $y=(1/2)x+1/4$ , così vedi chiaramente il valore della pendenza. Poi disegna il grafico che aiuta sempre...e verificherai se il punto A=(0,4) appartiene alla retta o meno.
A questo punto saprai che non appartiene alla retta
Ora disegna uno sketch di quello che devi ottenere, ovvero fai passare una retta parallela a $y=(1/2)x+1/4$ per il punto A e ad occhio segna due punti C e B appartenenti a quella retta che distano circa 5 da A. Infine disegna le due rette perpendicolari che passano per C e B. Ora avrai chiaro il quadro della situazione. Ok?
Il coefficiente angolare delle rette perpendicolari è pari al negativo del reciproco della pendenza di $y=(1/2)x+1/4$, quindi ti mancano quei due punti C e B...e per trovarli dovrai impostare un'equazione con il vincolo che ti è stato dato.
Una volta che hai C e B e la pendenza, ricaverai le due rette perpendicolari richieste.
Ciao a tutti.
Voglio buttare un sassolino nello stagno delle riflessioni e delle idee. Trovo che il testo dell'esercizio sia esposto male, oppure che il risultato sia un altro.
Mi sembra che diate per scontato che i punti distanti 5 da (0,4) siano i due punti giacenti sulla parallela alla retta data passante per (0,4) e distanti 5 da esso.
In realtà tali punti sono la circonferenza con centro in (0,4) e raggio 5.
Di conseguenza le perpendicolari alla retta data richieste dal problema non si limitano alle due tangenti a detta circonferenza scritte dal risultato, ma sono le infinite rette con coefficiente angolare -2 e con termine noto $4-5\sqrt5<=q<=4+5\sqrt5$.
Sarò più chiaro con un grafico:
IMHO
Voglio buttare un sassolino nello stagno delle riflessioni e delle idee. Trovo che il testo dell'esercizio sia esposto male, oppure che il risultato sia un altro.
Mi sembra che diate per scontato che i punti distanti 5 da (0,4) siano i due punti giacenti sulla parallela alla retta data passante per (0,4) e distanti 5 da esso.
In realtà tali punti sono la circonferenza con centro in (0,4) e raggio 5.
Di conseguenza le perpendicolari alla retta data richieste dal problema non si limitano alle due tangenti a detta circonferenza scritte dal risultato, ma sono le infinite rette con coefficiente angolare -2 e con termine noto $4-5\sqrt5<=q<=4+5\sqrt5$.
Sarò più chiaro con un grafico:
IMHO
"Bokonon":
……...fai passare una retta parallela a $y=(1/2)x+1/4$ per il punto A …...
Dove hai letto questa richiesta?
"teorema55":
Mi sembra che diate per scontato che i punti distanti 5 da (0,4) siano i due punti giacenti sulla parallela alla retta data passante per (0,4) e distanti 5 da esso.
La distanza fra un punto e una retta è sempre il segmento che congiunge il punto alla sua proiezione sulla retta.
Ciò che hai scritto invece è la distanza fra il punto e tutte le rette tangenti alla circonferenza...ma solo due sono perpendicolari alla retta data
Ho controllato con geogebra. Le rette sono solo due.
Sì, hai ragione, non serve geogebra, ma una interpretazione corretta del testo:
"Le perpendicolari alla retta data che distano 5 dal punto dato"
Queste sono solo le due tangenti alla circonferenza della mia interpretazione. La retta non tangente che ho disegnato è perpendicolare ma non dista come richiesto dal punto dato.
Sorry
"Le perpendicolari alla retta data che distano 5 dal punto dato"
Queste sono solo le due tangenti alla circonferenza della mia interpretazione. La retta non tangente che ho disegnato è perpendicolare ma non dista come richiesto dal punto dato.
Sorry
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