Problemuccio
ciao a tutti, mi potete aiutare in questo problema ?
Fra tutti i triangoli isosceli inscritti in una circonferenza di raggio R si determini quello per cui è massima la somma dell'altezza con il doppio della base
alla fine mi vengono calcoli un po'strani, ma forse perchè sbaglio...
Fra tutti i triangoli isosceli inscritti in una circonferenza di raggio R si determini quello per cui è massima la somma dell'altezza con il doppio della base
alla fine mi vengono calcoli un po'strani, ma forse perchè sbaglio...
Risposte
Chiamiamo x gli angoli alla base (uguali); l'angolo
al vertice misurerà 180° - 2x
Per il teorema della corda, i due lati obliqui (uguali),
misurano: 2r*sen(x) e la base misura, sempre per lo
stesso teorema, 2r*sen(180° - 2x) = 2r*sen(2x)
L'altezza sarà allora: lato_obliquo*sen(x) = 2r*sen(x)*sen(x) = 2r*sen²(x).
La funzione da massimizzare è quindi:
f(x) = 2r*sen²(x) + 4r*sen(2x)
...
al vertice misurerà 180° - 2x
Per il teorema della corda, i due lati obliqui (uguali),
misurano: 2r*sen(x) e la base misura, sempre per lo
stesso teorema, 2r*sen(180° - 2x) = 2r*sen(2x)
L'altezza sarà allora: lato_obliquo*sen(x) = 2r*sen(x)*sen(x) = 2r*sen²(x).
La funzione da massimizzare è quindi:
f(x) = 2r*sen²(x) + 4r*sen(2x)
...
Ciao! Dunque... Io ho fatto il disegno che mi ha aiutata... Magari fallo anche tu su un foglio, così capisci bene i passaggi che ho fatto.
Per capirci bene: ho dato i nomi A B C ai vertici. BC è la base, AB e AC i lati obliqui uguali. Gli angoli in B e C li ho chiamati x. Quello in A è quindi 180°-2x. Infine l'altezza la chiamo AH.
Allora, ho cercato di trovare BC e AH in funzione di x.
Per il teorema dei seni AB=2Rsen(x) . Per trovare AH considero il triangolo ABH, rettangolo in H. Uso sempre il Teorema dei seni: AB/sen(pigreco/2) = AH/sen(x) --> AH =ABsen(x) --> sostituisco AB che ho trovato prima --> AH=2R(sen(x))^2 .
Ancora una volta il medesimo teorema per trovare la base BC.
BC=2Rsen(pigreco-2x)=2Rsen(2x)
Hai tutto!
y=2R(sen(x))^2 +4Rsen(2x)
A questo punto è un problema di massimo. Fai la derivata della tua funzione
y'=4Rsen(x)cos(x) +8Rcos(2x)
e la poni uguale a 0.
4Rsen(x)cos(x) + 8Rcos(2x)=0
Il piacere di fare i calcoli finali lo lascio a te!! [:P]
Paola
Per capirci bene: ho dato i nomi A B C ai vertici. BC è la base, AB e AC i lati obliqui uguali. Gli angoli in B e C li ho chiamati x. Quello in A è quindi 180°-2x. Infine l'altezza la chiamo AH.
Allora, ho cercato di trovare BC e AH in funzione di x.
Per il teorema dei seni AB=2Rsen(x) . Per trovare AH considero il triangolo ABH, rettangolo in H. Uso sempre il Teorema dei seni: AB/sen(pigreco/2) = AH/sen(x) --> AH =ABsen(x) --> sostituisco AB che ho trovato prima --> AH=2R(sen(x))^2 .
Ancora una volta il medesimo teorema per trovare la base BC.
BC=2Rsen(pigreco-2x)=2Rsen(2x)
Hai tutto!
y=2R(sen(x))^2 +4Rsen(2x)
A questo punto è un problema di massimo. Fai la derivata della tua funzione
y'=4Rsen(x)cos(x) +8Rcos(2x)
e la poni uguale a 0.
4Rsen(x)cos(x) + 8Rcos(2x)=0
Il piacere di fare i calcoli finali lo lascio a te!! [:P]
Paola
Scusa Fireball non mi ero accorta che avevi risposto anche tu [:P]...
Beh vedo che ci viene la stessa funzione, almeno siamo (quasi) sicuri di aver fatto bene!
ciaoooo
Paola
Beh vedo che ci viene la stessa funzione, almeno siamo (quasi) sicuri di aver fatto bene!
ciaoooo
Paola
Scusa Fireball non mi ero accorta che avevi risposto anche tu [:P]...
Beh vedo che ci viene la stessa funzione, almeno siamo (quasi) sicuri di aver fatto bene!
ciaoooo
Paola
Beh vedo che ci viene la stessa funzione, almeno siamo (quasi) sicuri di aver fatto bene!
ciaoooo
Paola
Fissata la base del triangolo non è sufficiente che gli angoli alla base tendano a 90° gradi,o non ho capito niente?
Beh tu devi trovare dei valori di x, non basta dire che tende a 90° Ci sarà un triangolo che soddisfa queste ipotesi... Oltre al fatto che se gli angoli della base tendono a 90° se ci pensi la base diventa piccola piccola... Quindi aumenta l'altezza, ma la la base va a 0... [;)]
Paola
Paola
grazie mille, ora è + chiaro...
ma a causa delle mie lacune mi spiegate perkè sen(180-2x)= sen(2x)?
ma a causa delle mie lacune mi spiegate perkè sen(180-2x)= sen(2x)?
ah no è vero, adesso ho capito...
cavolo, ma come si risolve quell'equazione ? [xx(]
cavolo, ma come si risolve quell'equazione ? [xx(]
già che ci siamo mi aiutate ad impostare quest'altro problema ?
.Calcolare il cono di area laterale massima e di area totale massima.
.Calcolare il cono di area laterale massima e di area totale massima.
è più facile di quanto sembra...
4Rsen(x)cos(x) + 8Rcos(2x)=0
intanto semplifica per 4R, tanto R è diverso da zero
sen(x)cos(x) + 2cos(2x)=0
adesso ti accorgi (forse) che sen(x)cos(x)=1/2sen(2x)
quindi
sen(2x)+4cos(2x)=0
ora se x=pi/4, allora il significa che il triangolo isoscele è pure rettangolo, quindi la somma dell'altezza più il doppio della base vale 5R.
se x è diverso da pi/4 allora l'equazione va divisa per cos(2x) ottenendo
tg(2x)+4=0
tg(2x)=-4
2x= arctg(-4)=-75.96375653+kpi
il risultato utile è per K=1
2x=104.0362434°
x=52.01812173
4Rsen(x)cos(x) + 8Rcos(2x)=0
intanto semplifica per 4R, tanto R è diverso da zero
sen(x)cos(x) + 2cos(2x)=0
adesso ti accorgi (forse) che sen(x)cos(x)=1/2sen(2x)
quindi
sen(2x)+4cos(2x)=0
ora se x=pi/4, allora il significa che il triangolo isoscele è pure rettangolo, quindi la somma dell'altezza più il doppio della base vale 5R.
se x è diverso da pi/4 allora l'equazione va divisa per cos(2x) ottenendo
tg(2x)+4=0
tg(2x)=-4
2x= arctg(-4)=-75.96375653+kpi
il risultato utile è per K=1
2x=104.0362434°
x=52.01812173
a questo punto devi solo verificare (è solo questione di conti) che la x trovata dia luogo ad una y maggiore di 5R...altrimenti il punto di max sarebbe x=pi/4.
ma ho verificato graficamente con Derive che la soluzione è la x trovata...quindi fatti pure i conti tranquillamente! [;)]
ma ho verificato graficamente con Derive che la soluzione è la x trovata...quindi fatti pure i conti tranquillamente! [;)]
ah ok ho capito...mi devo decidere ad imparare queste formule...
invece per il secondo problema come dovrei procedere ? Che incognita dovrei prendere ?
invece per il secondo problema come dovrei procedere ? Che incognita dovrei prendere ?
Carissimo Pollo86, neanche io sopporto molto la trigonometria e tutte quelle maledetto formule per le quali mi devo inventare i peggio giochetti per ricordarle: ho, da questo punto di vista, una pessima memoria!
Tuttavia se nel triangolo isoscele inscritto ABC di vertice C e altezza CH, centro della circonferenza O, di cui parli poni "X" la lunghezza OH ti viene che: L'altezza CH = R+X e applicando il teorema di pitagora, semplicemente, al triangolo AOH trovi che AH=radq(R^2-x^2). Ovviamente radq significa "radice quadrata".
Pertanto la relazione da studiare è: f(x)=R+x+4*radq(R^2-x^2).
Banalissima funzione della quale, con i metodi dell'analisi, si deve trovare il massimo nell'intervallo di esistenza [-R;R].
Vedrai che, pur evitando i "noiosi" calcoli goniometrici, arrivi allo stesso risultato!!
Ciao, Ervise.
Tuttavia se nel triangolo isoscele inscritto ABC di vertice C e altezza CH, centro della circonferenza O, di cui parli poni "X" la lunghezza OH ti viene che: L'altezza CH = R+X e applicando il teorema di pitagora, semplicemente, al triangolo AOH trovi che AH=radq(R^2-x^2). Ovviamente radq significa "radice quadrata".
Pertanto la relazione da studiare è: f(x)=R+x+4*radq(R^2-x^2).
Banalissima funzione della quale, con i metodi dell'analisi, si deve trovare il massimo nell'intervallo di esistenza [-R;R].
Vedrai che, pur evitando i "noiosi" calcoli goniometrici, arrivi allo stesso risultato!!
Ciao, Ervise.
grazie ervise, in effetti così mi risulta + facile...
de gustibus...[;)]
però la trigonometria spesso è il metodo più immediato...quindi studiala!! in fondo devi solo ricordare due formule!! mica poi tante!! io almeno so solo quelle!! poi tutto sta alla tua creatività nel ricavarti le altre..
ti indico le formule secondo me fondamentali..
dò per scontate le relazioni sin^2(x)+cos^2(x)=1 (che tra l'altro non c'è bisogno di ricordare se sai il significato geometrico nella circonferenza goniometrica...non è altro che il teorema di pitagora infatti) e tg(x)=sin(x)/cos(x)
per il resto le uncihe formule che devi sapere sono
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
io non me ne ricordo altre e ti assicuro che queste mi sono sempre state più che suffienti!!!
saluti
il vecchio
però la trigonometria spesso è il metodo più immediato...quindi studiala!! in fondo devi solo ricordare due formule!! mica poi tante!! io almeno so solo quelle!! poi tutto sta alla tua creatività nel ricavarti le altre..
ti indico le formule secondo me fondamentali..
dò per scontate le relazioni sin^2(x)+cos^2(x)=1 (che tra l'altro non c'è bisogno di ricordare se sai il significato geometrico nella circonferenza goniometrica...non è altro che il teorema di pitagora infatti) e tg(x)=sin(x)/cos(x)
per il resto le uncihe formule che devi sapere sono
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
io non me ne ricordo altre e ti assicuro che queste mi sono sempre state più che suffienti!!!
saluti
il vecchio
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