Problemino parametrico

[silber]

Sono assegnate le funzioni in x:

[math]\frac{x^4+ax^2+b}{x^2+1}[/math]

dove a, b sono parametri reali.
a) Fra tali funzioni indicare con

[math]f(x[/math]

) quella per cui la curva k di equazione y = f(x), disegnata in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), soddisfi alle seguenti condizioni:

la retta di equazione

[math]y = 1[/math]

sechi k in due punti e sia tangente ad essa in un punto;
l'asse x sia tangente a k in due punti distinti.

messo a sistema k con la retta y=1 dovrei poi porre il discriminante = 0, fare la stesa cosa con y=0, mettere a sistema e dovrei trovare i parametri a e b. Ma non viene, sicuramente vi è qualcosa che mi sfugge...mi dareste una mano.

Aggiunto 5 ore 57 minuti più tardi:

mi è tutto chiaro tranne un paio di cose:
a cosa è servito sapere che la funzione è pari?
e
non so perchè ma il tuo risultato è sbagliato (anche se il procedimento è ineccepibile), sul libro danno come risultato

[math]\frac{(x^2-1)^2}{x^2+1}[/math]

, errore di stampa?

[Newton_1372]

Vediamo...la prima condizione ci dice che l'equazione

[math]\frac{x^4+ax^2+b}{x^2+1}=1[/math]

ha due soluzioni invece delle quattro, quindi ponendo

[math]z^2=x[/math]

trovo z^2+az+(b-1)=0 deve avere due soluzioni coincidenti, cosa possibile solo se

[math]\delta=0[/math]

.
Quindi la prima condizione risulta essere

[math]\delta=a^2-4(b-1)=a^2-4b+4=0[/math]

Aggiunto 10 minuti più tardi:

Riguardo alla seconda condizione, l'equazione della retta tangente non è nient'altro che la funzione derivata, giusto? Calcoliamoci dunque la derivata di

[math]\frac{x^4+ax^2+b}{x^2+1}[/math]

. Essa è un quoziente tra due funzioni:

[math]x^4+ax^2+b[/math]

e

[math]x^2+1[/math]

. Ricordando la regola di derivazione

[math]\(\frac{f}{g}\)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}[/math]

si ha che la derivata è

[math]\frac{(3x^3+2ax)(x^2+1)-2x(x^4+ax^2+b)}{(x^2+1)^2}[/math]

Aggiunto 2 minuti più tardi:

[math]\frac{3x^5+3x^3+2ax^3+2ax-2x^5-2ax^3-2xb}{x^4+1+2x^2}[/math]

Aggiunto 3 minuti più tardi:

[math]\frac{x^5+3x^3+2x(a-b)}{x^4+2x^2+1}[/math]

[BIT5]

La funzione e' pari:

infatti

[math] f(-x)= \frac{(-x)^4+a(-x)^2+b}{(-x)^2+1}= \frac{x^4+ax^2+b}{x^2+1}= f(x) [/math]

Dal momento che il punto di tangenza con la retta dovra' essere necessariamente uno (come imposto dal problema) esso dovra' giacere sull'asse y. (ovvero avere x=0), perche' per ogni altro punto

[math] x=x_0 [/math]

avremmo necessariamente un secondo punto di tangenza in

[math] x=-x_0 [/math]

Pertanto la funzione passera' per il punto (0,1) da cui b=1.

Inoltre abbiamo che la funzione e' tangente in due punti distinti all'asse x (y=0) da cui

[math] \frac{x^4+ax+1}{x^2+1}=0 \to x^4+ax+1=0 [/math]

e dunque

[math] x^2= \frac{-a \pm \sqrt{a^2-4}}{2} \to x= \pm \sqrt{\frac{-a \pm \sqrt{a^2-4}}{2}} [/math]

che sono le 4 soluzioni generiche. dovendo essere uguali a 2 a 2, dovremo porre dunque

[math] a^2-4=0 \to a= \pm 2 [/math]

Infine dal momento che la retta y=1 deve avere necessariamente ulteriori due punti di intersezione con la funzione avremo

[math] \frac{x^4+ax^2}{x^2+1}=1 \to x^4+(a-1)x^2=0 \to x^2(x^2+a-1)=0[/math]

da cui x=0 (soluzione doppia gia' discussa all'inizio)

[math] x^2+a-1=0 \to x= \pm \sqrt{1-a} [/math]

Le due intersezioni ci saranno e saranno distinte per a