Problemino di algebra
Ciao a tutti, non so se questa è la sezione del forum più adatta, però mi è sembrata quella che si addiceva di più a questo quesito:
per quanti valori del parametro reale a le due equazioni:
$x^3+ax+2=0$
e
$x^3+x+2a=0$
hanno almeno una radice in comune?
Grazie a tutti anticipatamente. Questo è un quesito trovato su un testo di preparazione per i test dell'università e che non sono riuscito a risolvere.
per quanti valori del parametro reale a le due equazioni:
$x^3+ax+2=0$
e
$x^3+x+2a=0$
hanno almeno una radice in comune?
Grazie a tutti anticipatamente. Questo è un quesito trovato su un testo di preparazione per i test dell'università e che non sono riuscito a risolvere.
Risposte
[mod="adaBTTLS"]sposto in secondaria di II grado.[/mod]
intanto ti do un'indicazione: il principio di addizione-sottrazione vale anche per equazioni di grado superiore al primo.
prova e facci sapere. ciao.
intanto ti do un'indicazione: il principio di addizione-sottrazione vale anche per equazioni di grado superiore al primo.
prova e facci sapere. ciao.
Quindi basta che metto sistema giusto? O mi sbaglio?
Risolvendo poi rispetto al parametro. Alla fine dovrebbe uscire per tre valori del parametro.
Datemi appena potete la conferma grazie.
Risolvendo poi rispetto al parametro. Alla fine dovrebbe uscire per tre valori del parametro.
Datemi appena potete la conferma grazie.
non so come hai fatto, però mi pare che per un valore del parametro ($a=1$) le cubiche coincidono e per tutti gli altri valori del parametro le curve hanno un punto in comune (per $x=2$).
ok... al fatto che per [tex]a=1[/tex] le due cubiche sono identiche ero arrivato anch'io... potresti spiegarmi come si dovrebbe ragionare in casi come questi? Cioè come fai a dire con sicurezza che per [tex]a=2[/tex] hanno quella radice in comune. O in generale come si può trovare il numero di radici in comune ,tra due curve, in funzione di un parametro. Io ho pensato al sistema per la sua stessa definizione ma non sono sicuro...
Ancora grazie.
[mod="WiZaRd"]Inseriti i tag TeX[/mod]
Ancora grazie.
[mod="WiZaRd"]Inseriti i tag TeX[/mod]
prego.
non per $a=2$, ma per $a != 1$ hanno in comune il punto di ascissa $x=2$
sottraendo membro a membro le due equazioni ho $ax-x+2-2a=0$ che scomposta per raccoglimento parziale dà:
$(a-1)(x-2)=0$
per la legge di annullamento del prodotto, se $a != 1$ dovrà essere $x=2$
però questo serve per individuare una eventuale soluzione, ma non basta, perché va a sistema con le due equazioni.
però una semplice verifica ti porta a dire che i due trinomi diventano, per $x=2$, entrambi $2^3+2a+2=2a+10$
quello che ti chiedeva il quesito era invece qualcosa di più restrittivo, cioè che il punto in comune avesse ordinata $y=0$
a questo punto manca solo imporre $2a+10=0$ per ricavare $a= -5$
questo perché, se $a=1$, le due cubiche coincidono (ma forse vuole anche sapere quante intersezioni hanno con l'asse $x$), e lo intersecano una sola volta in quanto le due equazioni diventano $x^3+x+2=0$, e la funzione $f(x)=x^3+x+2=0$ è strettamente crescente,
se $a != 1$, l'unica possibile soluzione è $x=2$.
non per $a=2$, ma per $a != 1$ hanno in comune il punto di ascissa $x=2$
sottraendo membro a membro le due equazioni ho $ax-x+2-2a=0$ che scomposta per raccoglimento parziale dà:
$(a-1)(x-2)=0$
per la legge di annullamento del prodotto, se $a != 1$ dovrà essere $x=2$
però questo serve per individuare una eventuale soluzione, ma non basta, perché va a sistema con le due equazioni.
però una semplice verifica ti porta a dire che i due trinomi diventano, per $x=2$, entrambi $2^3+2a+2=2a+10$
quello che ti chiedeva il quesito era invece qualcosa di più restrittivo, cioè che il punto in comune avesse ordinata $y=0$
a questo punto manca solo imporre $2a+10=0$ per ricavare $a= -5$
questo perché, se $a=1$, le due cubiche coincidono (ma forse vuole anche sapere quante intersezioni hanno con l'asse $x$), e lo intersecano una sola volta in quanto le due equazioni diventano $x^3+x+2=0$, e la funzione $f(x)=x^3+x+2=0$ è strettamente crescente,
se $a != 1$, l'unica possibile soluzione è $x=2$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo