Problemino con Rolle

[Lucrezio1]

Salve ragazzi, ho un problema con questo esercizio:
Sia $f(x)={((3x-2)/(x-1), -1<=x<=0), (-1/4x^2+x+a, 0 Devo determinare a in modo tale che la funzione soddisfi Rolle in $[-1,2+sqrt(2)]$. Ma c'è un problema! A prescindere da a, la funzione non può proprio soddisfare Rolle perchè semplicemente non è continua in x = 1! Come faccio a trovare a?o.o

[minomic]

"Lucrezio":la funzione non può proprio soddisfare Rolle perchè semplicemente non è continua in x = 1!

Ciao, non è vero che la funzione non è continua in $x=1$ visto che questo punto cade nel secondo intervallo ed è quindi "gestito" dalla seconda funzione, cioè $-1/4 x^2 + x + a$.

[Lucrezio1]

Mannaggia alla miseriaccia, è vero! Grazie
Ma sempre in questo esercizio... ho visto che la funzione è continua, ok, ma non è derivabile in 0 (la derivata destra non è uguale alla sinistra). Come faccio a trovare questo benedetto a?o.o

[minomic]

"Lucrezio":Mannaggia alla miseriaccia, è vero! Grazie
Ma sempre in questo esercizio... ho visto che la funzione è continua, ok, ma non è derivabile in 0 (la derivata destra non è uguale alla sinistra). Come faccio a trovare questo benedetto a?o.o

Ragioniamo così: il punto di passaggio da una funzione all'altra è lo $0$. In $0$ la funzione deve essere continua $rArr$ imponiamo la continuità. Si ha $f(0^-) = 2$ e $f(0^+) = a$, quindi $a = 2$. Questo è indispensabile per la continuità. Se poi verifica anche gli altri requisiti di Rolle bene, altrimenti non esiste nessun $a$ che faccia al caso nostro.
In questo caso siamo "fortunati" con i valori agli estremi e il risultato è il seguente

Tuttavia, come dicevi tu, la funzione in $0$ non è derivabile $rArr$ non soddisfa le ipotesi di Rolle.
Quindi i casi sono due: o hai copiato male il testo o questa funzione non soddista le ipotesi di Rolle per alcun valore di $a$.

[giammaria2]

Chiariamo bene: se sono verificate le ipotesi, esiste un punto in cui la derivata si annulla, ma non è detto il contrario: il punto può esistere anche se le ipotesi non sono verificate. E' quello che succede in questo esercizio: la derivata si annulla nel vertice della parabola.

[minomic]

"giammaria":Chiariamo bene: se sono verificate le ipotesi, esiste un punto in cui la derivata si annulla, ma non è detto il contrario: il punto può esistere anche se le ipotesi non sono verificate. E' quello che succede in questo esercizio: la derivata si annulla nel vertice della parabola.

Sono d'accordo! E' la differenza logica tra l'implicazione ( \( \Longrightarrow \)) e la doppia implicazione ( \( \Longleftrightarrow \)).

Ipotesi di Rolle soddisfatte \( \Longrightarrow \) esistenza del punto a derivata nulla, mentre non è vero che
esistenza del punto a derivata nulla \( \Longrightarrow \) ipotesi di Rolle soddisfatte.

[Lucrezio1]

Mmm, no non ho copiato male il testo, ci sarà qualche errore evidentemente! Comunque adesso mi si chiede di dimostrare che la funzione $y=x^5+x^3 +1$ ha un solo punto di intereszione con l'asse x. Io procedo così:
Dev'essere verificato il th di esistenza degli zeri: f(x) è continua in R, e considero pertanto l'intervallo $]-oo, +oo[$
$lim_(x-> -oo) f(x) = -oo$ e $lim_(x->+oo) f(x) = +oo$. La funzione soddisfa il teorema ed ammette almeno uno zero.
Ma se io calcolo la derivata prima: $y' = 5x^4+3x^2$, noto che $y'>0$ per ogni x reale, pertanto la funzinoe è sempre crescente, quindi deve ammettere al più UNO zero.
E' valida come dimostrazione?

[minomic]

"Lucrezio":E' valida come dimostrazione?

Certamente! Una volta attraversato l'asse $x$ non torna più indietro!

[Lucrezio1]

Bene! Il libro mi faceva una dimostrazione assurda utilizzando Rolle, ma sembra più semplice così! Grazie:D