Problemi vari con i limiti.. Uno alla volta.. :)
Ciao a tutti. 
Allora, siccome mi sto preparando per un esame di analisi che sarà tra 2 settimane, sto facendo tutti gli esercizi che trovo.
Iniziando dai limiti naturalmente ho già delle difficoltà.
Apro questo post per chiedere di volta in volta consigli o pareri su alcuni limiti di funzioni che non mi sono molto chiari.
Quando ho un dubbio ne scrivo uno e voi mi dite cosa vi pare (se riuscite ad aiutarmi però è meglio.. e vi sono grato per questo..
)
Quando la questione mi è chiara allora ne scrivo un'altro, e si cerca di parlare solo del limite attuale, senza digressioni su esercizi precedenti. Ok? Metterò un tag [size=150]Nuovo problema[/size] quando porrò un nuovo problema, cosicchè se qualcuno vuole aiutarmi, non ha bisogno di leggere tutti i messaggi precedenti per capire quando espongo un nuovo quesito, ma basta che vada in fondo alla pagina e quando legge l'ultimo tag, sà che al momento il mio dubbio è su quel preciso problema, e che gli altri sono risolti.
Pensate di potermi lasciare usare un post in questo modo?
Se si, allora vi ringrazio molto. Lo faccio per non aprire 30 post al giorno.. E poi probabilmente farò un post simile per i problemi sugli integrali, o problemi di fisica, l'altro esame che sto preparando.
E inizio con i primi quesiti:
Discutere esistenza ed eventuali valori dei seguenti limiti:
1) $lim_(x->0) (sqrt(cosx) - 2^x)/log(cosx)$
2) $lim_(x->0) (sin(x|x|))/x^2$
Dalla soluzione non esistono entrambi. Ora, a prescindere dal fatto che io abbia risolto o meno l'esercizio, vorrei sapere in base a quali conclusioni secondo voi non esistono. Io ingenuamente ho notato che sono limiti del tipo $0/0$, ho fatto de l'Hopital e viene ancora $0/0$, per cui non saprei che fare. Non mi è venuta in mente nessuna semplificazione particolare. Direi che rimangono in forma indeterminata e non esistono. Ma non mi sembra la ragione corretta.
Allora, siccome mi sto preparando per un esame di analisi che sarà tra 2 settimane, sto facendo tutti gli esercizi che trovo.
Iniziando dai limiti naturalmente ho già delle difficoltà.
Apro questo post per chiedere di volta in volta consigli o pareri su alcuni limiti di funzioni che non mi sono molto chiari.
Quando ho un dubbio ne scrivo uno e voi mi dite cosa vi pare (se riuscite ad aiutarmi però è meglio.. e vi sono grato per questo..
)Quando la questione mi è chiara allora ne scrivo un'altro, e si cerca di parlare solo del limite attuale, senza digressioni su esercizi precedenti. Ok? Metterò un tag [size=150]Nuovo problema[/size] quando porrò un nuovo problema, cosicchè se qualcuno vuole aiutarmi, non ha bisogno di leggere tutti i messaggi precedenti per capire quando espongo un nuovo quesito, ma basta che vada in fondo alla pagina e quando legge l'ultimo tag, sà che al momento il mio dubbio è su quel preciso problema, e che gli altri sono risolti.
Pensate di potermi lasciare usare un post in questo modo?
Se si, allora vi ringrazio molto. Lo faccio per non aprire 30 post al giorno.. E poi probabilmente farò un post simile per i problemi sugli integrali, o problemi di fisica, l'altro esame che sto preparando.
E inizio con i primi quesiti:
Discutere esistenza ed eventuali valori dei seguenti limiti:
1) $lim_(x->0) (sqrt(cosx) - 2^x)/log(cosx)$
2) $lim_(x->0) (sin(x|x|))/x^2$
Dalla soluzione non esistono entrambi. Ora, a prescindere dal fatto che io abbia risolto o meno l'esercizio, vorrei sapere in base a quali conclusioni secondo voi non esistono. Io ingenuamente ho notato che sono limiti del tipo $0/0$, ho fatto de l'Hopital e viene ancora $0/0$, per cui non saprei che fare. Non mi è venuta in mente nessuna semplificazione particolare. Direi che rimangono in forma indeterminata e non esistono. Ma non mi sembra la ragione corretta.
Risposte
Semplicemente i due limiti non esistono perché il limite destro non coincide con il limite sinistro.
Ovvero, se vai a calcolarti il limite per $xto0^+$ e quello per $xto0^-$, ti accorgi che ottieni valori differenti.
Pertanto il limite per $xto0$ non esiste.
Per me è ok.
Ovvero, se vai a calcolarti il limite per $xto0^+$ e quello per $xto0^-$, ti accorgi che ottieni valori differenti.
Pertanto il limite per $xto0$ non esiste.
Pensate di potermi lasciare usare un post in questo modo?
Per me è ok.
E come li calcolo limite destro e sinistro in modo separato? A parte una valutazione ad occhio non so come si fà.. (lo so lo so, sono messo abbastanza male... )
Grazie..
Aggiungo una piccola domanda: se ho per esempio $lim_(x->0) 2^(1/x)$, che sarebbe $root(x)(2)$, come mi comporto? Posso pensare che l'inverso è un esponenziale con esponente 0, e quindi tutto è uguale ad uno? Oppure come si fà? Non ricordo come si lavora quando c'è una radice con fattore 0, cioè radice 0-esima...
(lo so lo so, sono messo abbastanza male... )Grazie..
Aggiungo una piccola domanda: se ho per esempio $lim_(x->0) 2^(1/x)$, che sarebbe $root(x)(2)$, come mi comporto? Posso pensare che l'inverso è un esponenziale con esponente 0, e quindi tutto è uguale ad uno? Oppure come si fà? Non ricordo come si lavora quando c'è una radice con fattore 0, cioè radice 0-esima...
Adesso per il primo non mi viene in mente una soluzione immediata, il secondo è abbastanza veloce.
Se $xto0^+$ allora $|x|=x$, se invece $xto0^-$ hai che |x|=-x$
Dopodiché, il limite è praticamente fatto.
Per quanto riguarda
$lim_(xto0)2^(1/x)$ non ho capito bene la questione dell'inverso. Intendevi forse il reciproco?
Comunque, ti dico che nemmeno questo limite esiste.
Infatti se $xto0^+$ ottieni
$2^(1/0^+)=2^(+infty)=+infty$
invece nell'altro caso
$2^(1/0^-)=2^(-infty)=0^+$
Se $xto0^+$ allora $|x|=x$, se invece $xto0^-$ hai che |x|=-x$
Dopodiché, il limite è praticamente fatto.
Per quanto riguarda
$lim_(xto0)2^(1/x)$ non ho capito bene la questione dell'inverso. Intendevi forse il reciproco?
Comunque, ti dico che nemmeno questo limite esiste.
Infatti se $xto0^+$ ottieni
$2^(1/0^+)=2^(+infty)=+infty$
invece nell'altro caso
$2^(1/0^-)=2^(-infty)=0^+$
Ok. Grazie.
E se per esempio ti ritrovi davanti $root(0)(5)$ per esempio, a cosa è uguale? Intendevo questo.. mi sono espresso male..
P.S. per il calcolo di lim destro e sinistro intendevo in generale, non in questo caso preciso.. Un modo generale..
E se per esempio ti ritrovi davanti $root(0)(5)$ per esempio, a cosa è uguale? Intendevo questo.. mi sono espresso male..
P.S. per il calcolo di lim destro e sinistro intendevo in generale, non in questo caso preciso.. Un modo generale..
"John_Nash":
Ok. Grazie.
E se per esempio ti ritrovi davanti $root(0)(5)$ per esempio, a cosa è uguale?
Temo a nulla.
La scrittura $root(n)(a)$ ha senso se $ninNN_0$
"John_Nash":
P.S. per il calcolo di lim destro e sinistro intendevo in generale, non in questo caso preciso.. Un modo generale..
Se hai una funzione $f(x)$ e un suo punto $x_0$, il limite destro ad $x_0$ è
$lim_(x_0^+)f(x)$
e il sinistro
$lim_(x_0^-)f(x)$
Se questi due limiti sono differenti, allora la funzione non ammette limite per $xtox_0$
"Steven":
[quote="John_Nash"]Ok. Grazie.
E se per esempio ti ritrovi davanti $root(0)(5)$ per esempio, a cosa è uguale?
Temo a nulla.
La scrittura $root(n)(a)$ ha senso se $ninNN_0$
"John_Nash":
P.S. per il calcolo di lim destro e sinistro intendevo in generale, non in questo caso preciso.. Un modo generale..
Se hai una funzione $f(x)$ e un suo punto $x_0$, il limite destro ad $x_0$ è
$lim_(x_0^+)f(x)$
e il sinistro
$lim_(x_0^-)f(x)$
Se questi due limiti sono differenti, allora la funzione non ammette limite per $xtox_0$[/quote]
Ok, a tutto. Grazie.
Scriverò tra un pò qualche altro limite, mi risponda chi ha voglia. Grazie.
[size=150]Nuovo problema[/size]
Dunque: $lim_(x->0) ((sinx)/x)^(1/x)$ nella soluzione dice: "=1, non fattibile"... Cioè? mmm.. Il limite notevole lo conosco... Ma appunto, ora sono nella situazione di cui chiedevo prima.. Come ragiono? Il limite da destra e da sinistra fà 1.. però mi sfugge qualcosa....
Dunque: $lim_(x->0) ((sinx)/x)^(1/x)$ nella soluzione dice: "=1, non fattibile"... Cioè? mmm.. Il limite notevole lo conosco... Ma appunto, ora sono nella situazione di cui chiedevo prima.. Come ragiono? Il limite da destra e da sinistra fà 1.. però mi sfugge qualcosa....
Intanto questo limite dovrebbe essere una forma indeterminata del tipo $1^oo$...poi servono altre idee che almomento non ho.
Le forme indeterminate $1^oo$ di solito si sciolgono usando l'esponenziale, ovvero se $lim_(x->c) (f(x)^g(x))=1^oo$ lo si trasforma in
$lim_(x->c) e^(ln(f(x)^g(x)))=lim_(x->c) e^(g(x)ln(f(x)))$
$lim_(x->c) e^(ln(f(x)^g(x)))=lim_(x->c) e^(g(x)ln(f(x)))$
"amelia":
Le forme indeterminate $1^oo$ di solito si sciolgono usando l'esponenziale, ovvero se $lim_(x->c) (f(x)^g(x))=1^oo$ lo si trasforma in
$lim_(x->c) e^(ln(f(x)^g(x)))=lim_(x->c) e^(g(x)ln(f(x)))$
Ma se si opera sempre così, $g(x)$ è sempre qualcosa che và ad infinito, e si porta ad infinito tutto l'esponente della $e$.. Per cui verrebbe $e^oo= +oo$. In questo caso però $f(x)=0$ perchè è $log(1)$, per cui sarebbe $e^(oo * 0)$... E non sò che tipo di forma indeterminata sia questa...
Io però non ho capito una cosa: il tuo testo nella soluzione dice "=1, non fattibile". E che vuol dire? Cioè, io credo che o è uguale a 1, oppure non esiste.
Cos'è che non ho capito della risposta del tuo testo?
Cos'è che non ho capito della risposta del tuo testo?
"WiZaRd":
Io però non ho capito una cosa: il tuo testo nella soluzione dice "=1, non fattibile". E che vuol dire? Cioè, io credo che o è uguale a 1, oppure non esiste.
Cos'è che non ho capito della risposta del tuo testo?
Mi associo; non mi è mai capitato di vedere una dicitura simile.
Credo che "$=1$,non fattibile" sia una dicitura per indicare che venga $1^{\infty}$. Anche se sembra obrobrioso dire che $1^{\infty}=1$...
Beh si a questo punto penso anche io che sia come dice Nikilist, ma sinceramente non l'avevo capito neanche io, l'ho scritto anche prima.. non sapevo come interpretare la cosa.
Ma quindi, in definitiva, passando all'esponenziale si risolve qualcosa? Oppure quello che ho scritto prima è corretto? Mi riferisco a questo:
Ma se si opera sempre così, $g(x)$ è sempre qualcosa che và ad infinito, e si porta ad infinito tutto l'esponente della $e$.. Per cui verrebbe $e^oo= +oo$. In questo caso però $f(x)=0$ perchè è $log(1)$, per cui sarebbe $e^(oo * 0)$... E non sò che tipo di forma indeterminata sia questa...[/quote]
Ma quindi, in definitiva, passando all'esponenziale si risolve qualcosa? Oppure quello che ho scritto prima è corretto? Mi riferisco a questo:
"John_Nash":
[quote="amelia"]Le forme indeterminate $1^oo$ di solito si sciolgono usando l'esponenziale, ovvero se $lim_(x->c) (f(x)^g(x))=1^oo$ lo si trasforma in
$lim_(x->c) e^(ln(f(x)^g(x)))=lim_(x->c) e^(g(x)ln(f(x)))$
Ma se si opera sempre così, $g(x)$ è sempre qualcosa che và ad infinito, e si porta ad infinito tutto l'esponente della $e$.. Per cui verrebbe $e^oo= +oo$. In questo caso però $f(x)=0$ perchè è $log(1)$, per cui sarebbe $e^(oo * 0)$... E non sò che tipo di forma indeterminata sia questa...
[/quote]
Secondo Mathematica il limite proposto fa 1.
Vediamo un pò come ci si arriva.
Sia da calcolare $lim_{x to 0} (\frac{senx}{x})^(\frac{1}{x})$.
In prima analisi risulta $lim_{x to 0} (\frac{senx}{x})^(\frac{1}{x})=1^oo$
Si ha: $lim_{x to 0}(\frac{senx}{x})^(1/x)=lim_{x to 0}e^(\frac{1}{x}ln\frac{senx}{x})=e^(lim_{x to 0}\frac{1}{x}ln\frac{senx}{x})=e^(oo*0)$ che è una nuova forma di indecisione.
Dunque: $lim_{x to 0} \frac{1}{x}ln\frac{senx}{x}=\lim_{x to 0}\frac{ln\frac{senx}{x}}{x}=\frac{0}{0}$ che è una nuova forma di indecisione che ci consente però di applicare De l'Hopital.
Quindi:
$lim_{x to 0}\frac{ln\frac{senx}{x}}{x}=lim_{x to 0}\frac{\frac{d}{dx}ln\frac{senx}{x}}{\frac{d}{dx}x}=lim_{x to 0}\frac{\frac{\frac{d}{dx}\frac{senx}{x}}{\frac{senx}{x}}}{1}=lim_{x to 0}\frac{\frac{xcosx - senx}{x^2}}{\frac{senx}{x}}=lim_{x to 0}\frac{xcosx-senx}{xsenx}=\frac{0}{0}$
e ancora con De l'Hopital, applicatoo per due volte, si ha:
$lim_{x to 0}\frac{xcosx-senx}{xsenx}=lim_{x to 0}\frac{-xsenx}{senx+xcosx}=lim_{x to 0}\frac{-senx+xcosx}{2cosx-xsenx}=\frac{0}{2}$
Da quanto prima scritto, risulta infine:
$e^(lim_{x to 0}\frac{1}{x}ln\frac{senx}{x})=e^0=1$.
P.S.
Controllate bene perché è probabile che ci siano errori.
Vediamo un pò come ci si arriva.
Sia da calcolare $lim_{x to 0} (\frac{senx}{x})^(\frac{1}{x})$.
In prima analisi risulta $lim_{x to 0} (\frac{senx}{x})^(\frac{1}{x})=1^oo$
Si ha: $lim_{x to 0}(\frac{senx}{x})^(1/x)=lim_{x to 0}e^(\frac{1}{x}ln\frac{senx}{x})=e^(lim_{x to 0}\frac{1}{x}ln\frac{senx}{x})=e^(oo*0)$ che è una nuova forma di indecisione.
Dunque: $lim_{x to 0} \frac{1}{x}ln\frac{senx}{x}=\lim_{x to 0}\frac{ln\frac{senx}{x}}{x}=\frac{0}{0}$ che è una nuova forma di indecisione che ci consente però di applicare De l'Hopital.
Quindi:
$lim_{x to 0}\frac{ln\frac{senx}{x}}{x}=lim_{x to 0}\frac{\frac{d}{dx}ln\frac{senx}{x}}{\frac{d}{dx}x}=lim_{x to 0}\frac{\frac{\frac{d}{dx}\frac{senx}{x}}{\frac{senx}{x}}}{1}=lim_{x to 0}\frac{\frac{xcosx - senx}{x^2}}{\frac{senx}{x}}=lim_{x to 0}\frac{xcosx-senx}{xsenx}=\frac{0}{0}$
e ancora con De l'Hopital, applicatoo per due volte, si ha:
$lim_{x to 0}\frac{xcosx-senx}{xsenx}=lim_{x to 0}\frac{-xsenx}{senx+xcosx}=lim_{x to 0}\frac{-senx+xcosx}{2cosx-xsenx}=\frac{0}{2}$
Da quanto prima scritto, risulta infine:
$e^(lim_{x to 0}\frac{1}{x}ln\frac{senx}{x})=e^0=1$.
P.S.
Controllate bene perché è probabile che ci siano errori.
0_0
capito...
E quindi in definitiva fà 1.. Ma perchè dice "non fattibile"? Perchè è proprio un rompimento fare tutti questi calcoli e quindi in pratica non è fattibile??
capito...
E quindi in definitiva fà 1.. Ma perchè dice "non fattibile"? Perchè è proprio un rompimento fare tutti questi calcoli e quindi in pratica non è fattibile??
[size=150]Nuovo problema[/size]
Come fareste questo limite?
$lim_(x->0) 1/x ((3x - 2)/(2x + 3) - (3x + 2)/(2x - 3))$
Dovrebbe venire $26/9$, ma il massimo che sono riuscito a fare è stato ottenere un $0/9$ che per lo meno non è indeterminato... però...
Grazie!
Come fareste questo limite?
$lim_(x->0) 1/x ((3x - 2)/(2x + 3) - (3x + 2)/(2x - 3))$
Dovrebbe venire $26/9$, ma il massimo che sono riuscito a fare è stato ottenere un $0/9$ che per lo meno non è indeterminato... però...
Grazie!
"John_Nash":
[size=150]Nuovo problema[/size]
Come fareste questo limite?
$lim_(x->0) 1/x ((3x - 2)/(2x + 3) - (3x + 2)/(2x - 3))$
Dovrebbe venire $26/9$, ma il massimo che sono riuscito a fare è stato ottenere un $0/9$ che per lo meno non è indeterminato... però...
E poi piccola domandina: come lo scompongo per esempio $x^3 - 1$? Si può scomporre? Devo avere un lapsus di qualche tipo....
Grazie!
a me esce..fai bene i conti nelle parentesi..dovresti avere il numeratore con $-26x$ che poi semplifichi con quella $x$ al denominatore..ciao
Per il limite devi solo fare il denominatore comune tra le frazioni tra parentesi.
Ti si semplificano un po' di cose e viene il valore pulito.
Per il resto,
$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$
applicando la scomposizione che riguarda la differenza tra due cubi.
$a^3+-b^3?(a+-b)(a^2+b^2-+ab)$
Ti si semplificano un po' di cose e viene il valore pulito.
Per il resto,
$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$
applicando la scomposizione che riguarda la differenza tra due cubi.
$a^3+-b^3?(a+-b)(a^2+b^2-+ab)$
"Steven":
Per il limite devi solo fare il denominatore comune tra le frazioni tra parentesi.
Ti si semplificano un po' di cose e viene il valore pulito.
Per il resto,
$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$
applicando la scomposizione che riguarda la differenza tra due cubi.
$a^3+-b^3?(a+-b)(a^2+b^2-+ab)$
Si, grazie! Mi ero ricordato infatti ho cancellato la richiesta della scomposizione! Grazie comunque!!
Adesso provo a rifare il limite e vi dico.. magari ho sbagliato i conti.. Intanto comunque ne posto un'altro:
[size=150]Nuovo problema[/size]
$lim_(x->1) (1/(x-1) - 2/(x^2 - 1))$
Mi racomando, mi bastano consigli su come operare per i limiti, in modo che li svolgo da solo.. Bastano delle indicazioni.. Se poi proprio non ci riesco in nessun modo allora magari svolgiamo insieme la soluzione... Ma grazie 1000 a tutti!
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