Problemi sull'iperbole
Ho alcuni problemi sull'iperbole che non riesco a risolvere...
Primo problema
Le parallele all'asse x, condotte per i fuochi $F(0,3)$ e $F1 (0,-3)$ di una iperbole, intersecano gli asintoti dell'iperbole nei vertici di un rettangolo avente la diagonale di misura $ 9sqrt(2) $. Scrivere l'equazione dell'iperbole e calcolarne l'eccentricità
Di questo problema non sono riuscito a fare niente, non riesco a ricavarmi nessun dato...
Secondo problema
Scrivere l'equazione di una iperbole equilatera riferita ai propri assi passante per il punto di coordinate $(-5,4)$. Determinare i suoi fuochi e verificare che la retta $y=2x+1$ è esterna all'iperbole considerata
L'equazione di una iperbole equilatera è
$x^2 -y^2 = a^2$
Un punto appartiene all'iperbole se le sue coordinate soddisfano l'equazione, quindi
$25 - 16 = a^2$
Quindi otteniamo che
$a = 3$
I fuochi li posso ottenere tramite la formula
$c = asqrt(2)$
Quindi
$c = + o - 3sqrt(2)$
Per verificare se la retta appartiene (e non deve appartenere) all'iperbole, devo fare il sistema
${x^2 - y^2 = 9$
${y=2x+1$
Quindi ricaviamo che non ci sno soluzioni
Ecco non so come questo problema l'ho risolto proprio mentre lo scrivevo...
Grazie mille!
Primo problema
Le parallele all'asse x, condotte per i fuochi $F(0,3)$ e $F1 (0,-3)$ di una iperbole, intersecano gli asintoti dell'iperbole nei vertici di un rettangolo avente la diagonale di misura $ 9sqrt(2) $. Scrivere l'equazione dell'iperbole e calcolarne l'eccentricità
Di questo problema non sono riuscito a fare niente, non riesco a ricavarmi nessun dato...
Secondo problema
Scrivere l'equazione di una iperbole equilatera riferita ai propri assi passante per il punto di coordinate $(-5,4)$. Determinare i suoi fuochi e verificare che la retta $y=2x+1$ è esterna all'iperbole considerata
L'equazione di una iperbole equilatera è
$x^2 -y^2 = a^2$
Un punto appartiene all'iperbole se le sue coordinate soddisfano l'equazione, quindi
$25 - 16 = a^2$
Quindi otteniamo che
$a = 3$
I fuochi li posso ottenere tramite la formula
$c = asqrt(2)$
Quindi
$c = + o - 3sqrt(2)$
Per verificare se la retta appartiene (e non deve appartenere) all'iperbole, devo fare il sistema
${x^2 - y^2 = 9$
${y=2x+1$
Quindi ricaviamo che non ci sno soluzioni
Ecco non so come questo problema l'ho risolto proprio mentre lo scrivevo...
Grazie mille!
Risposte
Ciao, per il primo sai che sqrt(a^2+b^2)=3 e che l'equazione degli asintoti è y=(b/a)x.
Poichè gli asintoti hanno punti di intersezione con le rette x=3 e x=-3, vertici del rettangolo,
si mettono a sistema [x=3 da cui si ricava il p.to A(3;3b/a)
[y=(b/a)x
dal sistema [x=-3 si ricava il p.to B(-3;-3b/a).
[y=(b/a)x
La diagonale AB sai che misura 9sqrt2, da cui ricavi la condizione che ti mancava (6/a)sqrt(a^2+b^2)=9sqrt2
Risolvendo il sistema [(6/a)sqrt(a^2+b^2)=9sqrt2 si ricava che a^2=2 e b^2=7
[sqrt(a^2+b^2)=3
e andando a sostituire nell'equazione generale x^2/a^2-y^2/b^2=-1, l'equazione dell'iperbole è x^2/2-y^2/7=-1.
L'eccentricità e=c/b=(3sqrt7)/7.
Dimmi se ho sbagliato.Ciao
Poichè gli asintoti hanno punti di intersezione con le rette x=3 e x=-3, vertici del rettangolo,
si mettono a sistema [x=3 da cui si ricava il p.to A(3;3b/a)
[y=(b/a)x
dal sistema [x=-3 si ricava il p.to B(-3;-3b/a).
[y=(b/a)x
La diagonale AB sai che misura 9sqrt2, da cui ricavi la condizione che ti mancava (6/a)sqrt(a^2+b^2)=9sqrt2
Risolvendo il sistema [(6/a)sqrt(a^2+b^2)=9sqrt2 si ricava che a^2=2 e b^2=7
[sqrt(a^2+b^2)=3
e andando a sostituire nell'equazione generale x^2/a^2-y^2/b^2=-1, l'equazione dell'iperbole è x^2/2-y^2/7=-1.
L'eccentricità e=c/b=(3sqrt7)/7.
Dimmi se ho sbagliato.Ciao
Scusa per la poca leggibilità, cmq le equazioni contrassegnate da parentesi quadra sono a sistema.Ciao
Regalo...se vuoi avvantagiarti nello scrivere le formule potresti installare MathML...
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