Problemi sull'ellisse =)

[morettinax]

tra le rette del fascio di equazione y=-2x+k, individua quelle tangenti all'iperbole equilatera riferita agli asindoti che passa per il punto A(1,1/2)

mi potete spiegare tutti i passaggi?

2)dopo aver scritto l'equzione dell'iperbole riferita al centro e agli assi avente i semiassi uguali e paasante per il punto P(2,radice di 2),traccia una retta perpendicolare al semiasse positivo delle ordinate in modo che la corda che l'iperbole stacca su di essa abbia lunghezza 6radicedi 2.

la prima parte di qst problema si trova mi potete spiegare cm si calcola una retta perpendicolare al semiasse positivo delle ordinate in modo che la corda che l'iperbole stacca su di essa abbia lunghezza 6radicedi 2????


grazie in anticipo

[ciampax]

Il primo:

L'equazione generale dell'iperbole è

[math]xy=a[/math]

e pertanto, sostituendo le coordinate del punto si trova

[math]a=1/2[/math]

e quindi

[math]xy=1/2[/math]

. Sostituendo l'equazione del fascio di rette nell'equazione dell'iperbole si ottiene

[math]x(-2x+k)=1/2\ \Rightarrow\ 4x^2-2kx+1=0[/math]

Affinché le rette siano tangenti, è necessario che la precedente equazione abbia una solo soluzione (doppia): pertanto imponiamo che

[math]4k^2-16=0\ \Rightarrow\ k=\pm 2[/math]

Le rette cercate sono quindi

[math]y=-2x\pm 2[/math]

Il secondo: l'equazione generale stavolta è

[math]x^2-y^2=a^2[/math]

e pertanto

[math]a^2=4-2=2[/math]

e quindi il semiasse misura

[math]a=\sqrt{2}[/math]

. Una retta perpendicolare al semiasse positivo delle ordinate ha equazione

[math]x=k[/math]

con

[math]k>0[/math]

. Affinché si verifichi la condizione richiesta, si deve avere che la distanza tra i punti di intersezione dell'iperbole e la retta sia pari al valore fornito. Pertanto, intersecando le equazioni

[math]x^2-y^2=2,\qquad x=k[/math]

si trovano i due punti

[math]A(k,\sqrt{k^2-2}),\ B(k,-\sqrt{k^2-2})[/math]

la cui distanza risulta

[math]AB=|2\sqrt{k^2-2}|=6\sqrt{2}[/math]

Dal momento che la radice è definita positiva, l'equazione, elevando al quadrato ambo i membri risulta

[math]4(k^2-2)=72\ \Rightarrow k^2-2=18\ \Rightarrow k=\pm 2\sqrt{5}[/math]

di cui va presa solo la soluzione positiva.