PROBLEMI SULLA SIMILITUDINE

[sirenaaaaaaa]

In un triangolo rettangolo i cateti AB e AC misurano, rispettivamente, a e 2a. Determina un punto P sull'ipotenusa BC in modo che, detta H la proiezione di P sul cateto AB, sia verificata la relazione:
(AH)^2 + (CH)^2 + (PH)^2 = 7a^2
RISULTATO
AH = (4- radice 10)a / 6

[anna.supermath]

Ciao, ti scrivo la soluzione facendo una piccola premessa.
Quando viene chiesto di individuare la posizione di un punto che si trova su un dato segmento (in questo caso l’ipotenusa), solitamente si individua la distanza del punto in questione da uno degli estremi del segmento.
In questo caso il testo come risultato ti fornisce la lunghezza di AH, che ovviamente dipende dalla posizione di P, ma non ti permette di individuare subito la sua posizione.
Quindi io ho imposto
BP = x
Vedrai che AH risulta essere uguale al valore fornito dal testo come risultato.
Fai riferimento al foglio che ho allegato per il dettaglio dei calcoli e per la figura.
Prima di tutto si trova il valore dell’ipotenusa mediante il Teorema di Pitagora:
BC = radice quadrata di ((AB^2) + (AC^2))
BC = radice quadrata di (a^2 + 4a^2)
BC = a(radice quadrata di 5)
I triangoli ABC e HBC sono simili, quindi:
BH : AB = BP : BC
BH = (AB) (BP)/(BC)
BH = ((radice quadrata di 5)/5)(x)
AH = AB - BH
AH = a - ((radice quadrata di 5)/5)(x)
Per il Teorema di Pitagora
(CH)^2 = (AH)^2 + (AC)^2
(CH)^2 =
= (a - (radice quadrata di 5)/(5))(x))^2 + 4a^2
Sempre dalla similitudine dei triangoli
BP : BC = PH :
PH = (BP) (AC)/(BC)
PH = (2/5)(radice quadrata di 5)(x)/5
A questo punto si può impostare la relazione fornita dal problema:
(AH)^2 + (CH)^2 + (PH)^2 = 7(a^2)
(a - (radice quadrata di 5)(x)/5)^2 + (a - (radice quadrata di 5)(x)/5)^2 + 4(a^2) + ((2/5)(radice quadrata di 5)(x)/5)^2 = 7(a^2)
Svolgendo i calcoli (che trovi in dettaglio nell’allegato) si trova che:
6x^2 -4(radice quadrata di 5)ax - 5a^2 =0
La soluzione accettabile è
x = (2(radice quadrata di 5) + 5(radice quadrata di 2))/6
x = BP
Distanza di P dall’estremo B dell’ipotenusa BC
Per trovare AH basta sostituire tale valore in
AH = AB - BH
Svolgendo e semplificando i calcoli si trova
AH = (4a - (radice quadrata di 10)a)/6
Che è il risultato fornito dal testo.