Problemi sulla circonferenza di geometria analitica
1) DATA LA CIRCOFERENZA DI EQUAZIONE Xalla2+Yalla2=1 E LA RETTA r: 2x-y+1=0 CALCOLA LE COORDINATE DEI LORO PUNTI DI INTERSEZION A E B. SCRIVERE L' EQUAZIONI DELLE PERDEPENDICOLARI A r NEI PUNTI A E B E INDICATE CON C E D LE ULTERIORI INTERSEZIONI DI TAOLI PERPENDICOLARI CON LA CIRCONFERENZA, CALCOLA AREA DI ABCD.
2) DETERMINA L'EQUAZIONE DELLA CIRCONF TANGENTE NELL'ORIGINE ALLA RETTA 3x-4y=0 E AVENTE IL CENTRO SULLA RTTA t: x+y+1=0. determina le equazioni delle rette parallele a t e tangenti alla circonferenza.
3) DETTO C IL CENTRO DELLA CIRCONFERENZA 2Xalla2+2Yalla2+5x+7y=0 determina l'equazioni delle rette r e s perpendicolari alla retta 3x+y+2=0 e che hanno distanza radicedi2/5 da C. DETERMINA PERIMETRO E AEREA DEL QUADRILATERO CONVESSO AVENTE PER VERTICI I PUNTI DI INTERS DI r E s CON GLI ASSI.
Aggiunto 49 minuti più tardi:
sisisi perfetto ho capito...
Aggiunto 14 minuti più tardi:
hai sbagliato alcuni calcoli su Y2 e da li in poi non ho ben capito=( mi puoi completare gli altri poi me li capisco da me ma se almeno vedo come sono svolti grazie
2) DETERMINA L'EQUAZIONE DELLA CIRCONF TANGENTE NELL'ORIGINE ALLA RETTA 3x-4y=0 E AVENTE IL CENTRO SULLA RTTA t: x+y+1=0. determina le equazioni delle rette parallele a t e tangenti alla circonferenza.
3) DETTO C IL CENTRO DELLA CIRCONFERENZA 2Xalla2+2Yalla2+5x+7y=0 determina l'equazioni delle rette r e s perpendicolari alla retta 3x+y+2=0 e che hanno distanza radicedi2/5 da C. DETERMINA PERIMETRO E AEREA DEL QUADRILATERO CONVESSO AVENTE PER VERTICI I PUNTI DI INTERS DI r E s CON GLI ASSI.
Aggiunto 49 minuti più tardi:
sisisi perfetto ho capito...
Aggiunto 14 minuti più tardi:
hai sbagliato alcuni calcoli su Y2 e da li in poi non ho ben capito=( mi puoi completare gli altri poi me li capisco da me ma se almeno vedo come sono svolti grazie
Risposte
Scrivere tutto in maiuscolo in rete equivale a urlare....
Cominciamo dal primo. Trovare i punti di intersezione equivale a risolvere il sistema_
Dalla seconda ricavi
Che sostituito alla prima dara'
L'equazione e' risolta per
Dalla retta ricavi le y, ovvero
e
I punti sono
Le perpendicolari alla retta y=2x+1 hanno coefficiente angolare (pendenza) = -1/2
Quindi sono tutte della forma
Per trovare la retta appartenente a questo fascio, sostituisco il punto
la perpedicolare sara' y=-1/2x+1
Trovi l'altra
Metti a sistema con la circonferenza, trovando in modo analogo gli altri 4 punti.
Siccome hai due lati paralleli (ovvero le due perpendicolari alla stessa retta) avrai davanti un trapezio..
Calcoli le due basi (giacenti sui lati paralleli, come distanza tra le coppie di punti) l'altezza (come distanza punto/retta parallela) e sei a posto
Dimmi se ci sei, e se possiamo passare al secondo
Aggiunto 30 minuti più tardi:
Il secondo:
L'equazione della circonferenza canonica e':
Se nell'origine la circonferenza e' tangente alla retta, significa che l'origine e' un punto della retta MA ANCHE della circonferenza.
Petanto la circonferenza passa per l'origine, e il punto O ne soddisfera' l'equazione, quindi
La circonferenza nel caso e' della forma, dunque
Poi:
sappiamo che la circonferenza ha centro nei punti:
Se il centro della circonferenza sta sulla retta x+y+1=0 vuol dire che
Pertanto da quanto detto
Infine sapendo che la retta 3x-4y=0 e' tangente, vuol dire che la distanza di questa retta dal centro della circonferenza sara' pari al raggio.
Il raggio della circonferenza e'
Essendo c=0 sara'
E sara' pari alla distanza tra il centro della circonferenza e la retta.
La retta e' 3x-4y=0
La distanza punto/retta e'
dove a b e c sono i coefficienti della retta (a=3 b=-4 c=0)
Quindi
ovvero
Il sistema da risolvere sara' dunque:
Dalla prima ricavi
Che sostituito alla seconda dara'
ovvero
E dunque
Ovvero
Eliminiamo il valore assoluto eleviamo al quadrato e risolviamo:
Ovvero
Ovvero:
E quindi
E siccome
e
La circonferenza sara'
L'altra sara'
che avendo delta negativo, non da' soluzioni.
Per concludere l'esercizio dovrai tenere conto che t:y=-x-1
Tutte le parallele sono della forma
Che intersecheranno la circonferenza nei punti:
Ovvero
Ovvero
Le soluzioni di questa equazione di secondo grado, esprimeranno le ascisse dei punti di intersezione tra una retta qualunque del fascio e la circonferenza.
Siccome noi vogliamo che la retta sia tangente, faremo in modo che i punti di intersezione non siano due distinti, bensi' due coincidenti.
Porremo quindi il delta = 0
Siccome il coefficiente di x e' pari (e' 2(-q-4)) usiamo delta/4
e dunque
Calcoliamo q (con la ridotta)
Le tangenti saranno
Spero di non aver fatto errori di conto..
Altro metodo era:
Scrivere il fascio in forma implicita:
y=-x+q da cui x+y-q=0
Calcolare il raggio della circonferenza
porre la distanza centro/retta = raggio
Puoi provare a farlo tu per esercizio, cosi' vedi se i miei calcoli sono corretti.
Dimmi se hai capito che passiamo al terzo ;)
Cominciamo dal primo. Trovare i punti di intersezione equivale a risolvere il sistema_
[math] \{x^2+y^2=1 \\ 2x-y+1=0 [/math]
Dalla seconda ricavi
[math] y=2x+1[/math]
Che sostituito alla prima dara'
[math] x^2+(2x+1)^2=1 \to x^2+4x^2+1+4x-1=0 \to \\ \\ \\ \to 5x^2+4x=0 \to x(5x+4)=0 [/math]
L'equazione e' risolta per
[math] x=0 \cup x=- \frac45 [/math]
Dalla retta ricavi le y, ovvero
[math] y_1=2x+1 \to y_1=0+1=1 [/math]
e
[math] y_2=2 \(- \frac45 \) + 1 = - \frac85 + \frac55 = \frac{13}{5} [/math]
I punti sono
[math] A \(0,1) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B \(- \frac45 , \frac{13}{15} [/math]
Le perpendicolari alla retta y=2x+1 hanno coefficiente angolare (pendenza) = -1/2
Quindi sono tutte della forma
[math] y=- \frac12x+q [/math]
Per trovare la retta appartenente a questo fascio, sostituisco il punto
[math] 1=0+q \to q=1 [/math]
la perpedicolare sara' y=-1/2x+1
Trovi l'altra
Metti a sistema con la circonferenza, trovando in modo analogo gli altri 4 punti.
Siccome hai due lati paralleli (ovvero le due perpendicolari alla stessa retta) avrai davanti un trapezio..
Calcoli le due basi (giacenti sui lati paralleli, come distanza tra le coppie di punti) l'altezza (come distanza punto/retta parallela) e sei a posto
Dimmi se ci sei, e se possiamo passare al secondo
Aggiunto 30 minuti più tardi:
Il secondo:
L'equazione della circonferenza canonica e':
[math] x^2+y^2+ax+by+c=0 [/math]
Se nell'origine la circonferenza e' tangente alla retta, significa che l'origine e' un punto della retta MA ANCHE della circonferenza.
Petanto la circonferenza passa per l'origine, e il punto O ne soddisfera' l'equazione, quindi
[math] 0^2+0^2+a0+b0+c=0 \to c=0 [/math]
La circonferenza nel caso e' della forma, dunque
[math] x^2+y^2+ax+by=0 [/math]
Poi:
sappiamo che la circonferenza ha centro nei punti:
[math] x_C=- \frac{a}{2} \\ \\ \\ \\ y_C=- \frac{b}{2} [/math]
Se il centro della circonferenza sta sulla retta x+y+1=0 vuol dire che
[math] x_C+y_C+1=0 [/math]
Pertanto da quanto detto
[math] \(- \frac{a}{2} \) + \(- \frac{b}{2} \) + 1 = 0 [/math]
Infine sapendo che la retta 3x-4y=0 e' tangente, vuol dire che la distanza di questa retta dal centro della circonferenza sara' pari al raggio.
Il raggio della circonferenza e'
[math] r= \sqrt{ x_C^2+y_C^2-x} [/math]
Essendo c=0 sara'
[math] r=\sqrt{x_C^2+y_C^2} [/math]
E sara' pari alla distanza tra il centro della circonferenza e la retta.
La retta e' 3x-4y=0
La distanza punto/retta e'
[math] \frac{|ax_C+by_C+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} [/math]
dove a b e c sono i coefficienti della retta (a=3 b=-4 c=0)
Quindi
[math] \frac{|3x_C-4y_C|}{\sqrt{3^2+4^2}} = r [/math]
ovvero
[math] \frac{|3x_C-4y_C|}{5}= \sqrt{x_C^2+y_C^2} [/math]
Il sistema da risolvere sara' dunque:
[math] \{x_C+y_C+1=0 \\ \frac{|3x_C-4y_C|}{5}= \sqrt{x_C^2+y_C^2} [/math]
Dalla prima ricavi
[math] x_C=-1-y_C [/math]
Che sostituito alla seconda dara'
[math] \frac{|3(-1-y_C)-4y_C|}{5}= \sqrt{(-1-y_C)^2+y_C^2} [/math]
ovvero
[math] \frac{|-3-3y_C-4y_C|}{5} = \sqrt{1+y_C^2+2y_C+y_C^2} [/math]
E dunque
[math] \frac{|-7y_C-3|}{5} = \sqrt{2y_C^2+2y_C+1} [/math]
Ovvero
[math] |-7y_C-3|=5 \sqrt{2y_C^2+2y_C+1} [/math]
Eliminiamo il valore assoluto eleviamo al quadrato e risolviamo:
[math] \pm (-7y_C-3)^2=25(2y_C+2y_C+1) [/math]
Ovvero
[math] \pm (49y_C^2+9+42y_C)=50y_C^2+50y_C+25 [/math]
Ovvero:
[math] + ( 49y_C^2+42y_C+9)=50y_C^2+50y_C+25 \to \\ \\ \\ \to y_C^2+8y_C+16=0 \to (y_C+4)^2=0 \to y_C=-4 [/math]
E quindi
[math] x_C=-y_C-1=4-1=3 [/math]
E siccome
[math] x_C=- \frac{a}{2} \to 3=- \frac{a}{2} \to a=-6 [/math]
e
[math] y_C=- \frac{b}{2} \to -4=- \frac{b}{2} \to b=8 [/math]
La circonferenza sara'
[math] x^2+y^2-6x+8y=0 [/math]
L'altra sara'
[math] -49y_C^2-42y_C-9=50y_C^2+50y_C+25 \to 99y_C^2+92y_C+67=0 [/math]
che avendo delta negativo, non da' soluzioni.
Per concludere l'esercizio dovrai tenere conto che t:y=-x-1
Tutte le parallele sono della forma
[math] y=-x+q [/math]
Che intersecheranno la circonferenza nei punti:
[math] \{ x^2+y^2-6x+8y=0 \\ y=-x+q [/math]
Ovvero
[math] x^2+(q-x)^2-6x+8(q-x)=0 \to x^2+q^2+x^2-2qx-6x+8q-8x=0 [/math]
Ovvero
[math] 2x^2+2(-q-4)x+q^2+8q=0 [/math]
Le soluzioni di questa equazione di secondo grado, esprimeranno le ascisse dei punti di intersezione tra una retta qualunque del fascio e la circonferenza.
Siccome noi vogliamo che la retta sia tangente, faremo in modo che i punti di intersezione non siano due distinti, bensi' due coincidenti.
Porremo quindi il delta = 0
Siccome il coefficiente di x e' pari (e' 2(-q-4)) usiamo delta/4
[math] \frac{\Delta}{4} = \( \frac{b}{2} \)^2 - ac = (-q-4)^2-2(q^2+8q)=0 [/math]
e dunque
[math] q^2+16+8q-2q^2-16q=0 \to -q^2-8q+16=0 \to q^2+8q-16=0 [/math]
Calcoliamo q (con la ridotta)
[math] q= -4 \pm \sqrt{16+16} = -4 \pm \sqrt{32} = -4 \pm 4 \sqrt2 [/math]
Le tangenti saranno
[math] y=-x-4+4 \sqrt2 \\ \\ \\ y=-x-4-4 \sqrt2 [/math]
Spero di non aver fatto errori di conto..
Altro metodo era:
Scrivere il fascio in forma implicita:
y=-x+q da cui x+y-q=0
Calcolare il raggio della circonferenza
porre la distanza centro/retta = raggio
Puoi provare a farlo tu per esercizio, cosi' vedi se i miei calcoli sono corretti.
Dimmi se hai capito che passiamo al terzo ;)
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