Problemi sulla circonferenza

[indovina]

Si consideri il fascio determinato dalle due circonferenze
x^2+y^2-2x+2y-8=0
x^2+y^2-4x-2y=0
1)trovare l'equazione della circonferenza del fascio
a---->tangente alla retta x-2y-4=0
b----->che stacca sulla retta x-y-4=0 una corda di misura 5 radical 2
c----->che interseca gli assi del sistema di riferimento in punti che determinan un quadrilatero la cui area misuri 70.
2)determinare il centro delle circonferenze aventi il raggio di misura 5.

[laura.todisco]

Dovremmo risolvertelo noi? Facci capire!

[_nicola de rosa]

"clever":Si consideri il fascio determinato dalle due circonferenze
x^2+y^2-2x+2y-8=0
x^2+y^2-4x-2y=0
1)trovare l'equazione della circonferenza del fascio
a---->tangente alla retta x-2y-4=0
b----->che stacca sulla retta x-y-4=0 una corda di misura 5 radical 2
c----->che interseca gli assi del sistema di riferimento in punti che determinan un quadrilatero la cui area misuri 70.
2)determinare il centro delle circonferenze aventi il raggio di misura 5.

risolviamolo assieme: inizia a scrivere il fascio

[indovina]

Sono riuscita a fare solo il numeo 1a e metà del 1b ma per il resto non riesco proprio a venirne fuori.

[_nicola de rosa]

"clever":Sono riuscita a fare solo il numeo 1a e metà del 1b ma per il resto non riesco proprio a venirne fuori.

1)Equazione del fascio $x^2+y^2-2x+2y-8+k(x^2+y^2-4x-2y)=0$
a)Imponendo la condizione di tangenza con la retta $x-2y-4=0$ si trova $k=-7/3$ da cui l'equazione $x^2+y^2-11/2x-5y+6=0$
b)Devi fare il sistema tra il fascio e la retta: ${(x^2+y^2-2x+2y-8+k(x^2+y^2-4x-2y)=0),(x-y-4=0):}$ e troverai come punti di intersezione $A=((7k+4+sqrt(k^2+8k+16))/(2(k+1)),(sqrt(k^2+8k+16)-k-4)/(2(k+1))),B=((7k+4-sqrt(k^2+8k+16))/(2(k+1)),(-sqrt(k^2+8k+16)-k-4)/(2(k+1)))$. In realtà imponendo tale sistema, per avere due punti di intersezione va pure imposto che il discriminante sia maggiore di zero. In tal caso il discriminante è $k^2+8k+16=(k+4)^2>0 AA k in RR-{-4}$.
Ora la distanza $bar(AB)=sqrt((2(k^2+8k+16))/(k^2+2k+1))$ e dobbiamo imporre $bar(AB)=5sqrt2$ cioè
$2(k^2+8k+16)/(k^2+2k+1)=50$ da cui si ricava $k_1=-1/4,k_2=-3/2$ entrambi accettabili cui corrispondono le equazioni del fascio:
$k_1=-1/4->x^2+y^2-4/3x+10/3y-32/3=0$ mentre $k_2=-3/2->x^2+y^2-8x-10y+16=0$
c)Prendiamo l'equazione del fascio $x^2+y^2-2x+2y-8+k(x^2+y^2-4x-2y)=0$ e troviamo le intersezioni con gli assi.
Con l'asse $x$ le intersezioni sono date dal sistema ${(x^2+y^2-2x+2y-8+k(x^2+y^2-4x-2y)=0),(y=0):}$ da cui si ricavano i punti $A=((2k+1+sqrt(4k^2+12k+9))/(k+1),0),B=((2k+1-sqrt(4k^2+12k+9))/(k+1),0)$ mentre con l'asse delle $y$ le intersezioni si ricavano dal sistema ${(x^2+y^2-2x+2y-8+k(x^2+y^2-4x-2y)=0),(x=0):}$ da cui si ricavano i punti
$C=(0,(k-1+sqrt(k^2+6k+9))/(k+1)),D=(0,(k-1-sqrt(k^2+6k+9))/(k+1))$.
Ora con alcune considerazioni geometriche ricavi l'area totale ed imponi l'uguaglianza col valore noto per ipotesi e ricavi $k$. Se non ci riesci ti mostrerò come proseguire.
2)Il fascio riscriviamolo in questo modo:
$x^2+y^2+x(-4k-2)/(k+1)+y(2-2k)/(k+1)-8/(k+1)=0$. Il raggio i funzione di $k$ è
$r=1/2*sqrt(((-4k-2)/(k+1))^2+((2-2k)/(k+1))^2-4*(-8/(k+1)))=1/2*sqrt((20k^2+40k+40)/(k^2+2k+1))$. In tal caso bisogna imporre per l'esistenza della radice che $(20k^2+40k+40)/(k^2+2k+1)>=0$ e questa in realtà è vera $AAk in RR-{-1}$
Ora imponendo che $r=5 <=>r^2=25$ si ha $20k^2+40k+40=100k^2+200k+100->4k^2+8k+3=0->k=(-4+-2)/4->k_1=-1/2,k_2=-3/2$ entrambi accettabili
Ora $k_1=-1/2->x^2+y^2+6y-16=0$ e $k_2=-3/2->x^2+y^2-8x-10y+16=0$
i cui centri sono rispettivamente $C_1=(0,-3),C_2=(4,5)$

Spero solo che con l'ora tarda non abbia scritto cretinate.

[indovina]

grazie, comunque i primi due punti mi trovo con te gli altri non c'ero proprio arrivata.Poi ho trovato k nella richiesta in cui vi era l'area del quadrilatero.Ciao.