Problemi sui limiti
Salve ragazzi, mi trovo davanti a questi due limiti che non riesco a risolvere, potreste darmi qualche dritta per favore?
$lim x->+∞ sqrt(2x-1)/(x+4)$ e $lim x->-∞ (2x^4-1000x^3-5x+1)/(x^3+1)$
Per quanto riguarda il primo, essendo una forma indeterminata $∞/ ∞$ dovrei portare fuori dalla radice $x$ di grado massimo però non so come fare, e per quanto riguarda il secondo, essendo il grado del numeratore maggiore di quello del denominatore il risultato è $ ∞$, ma come faccio a determinare il segno?
Grazie mille per l'aiuto
$lim x->+∞ sqrt(2x-1)/(x+4)$ e $lim x->-∞ (2x^4-1000x^3-5x+1)/(x^3+1)$
Per quanto riguarda il primo, essendo una forma indeterminata $∞/ ∞$ dovrei portare fuori dalla radice $x$ di grado massimo però non so come fare, e per quanto riguarda il secondo, essendo il grado del numeratore maggiore di quello del denominatore il risultato è $ ∞$, ma come faccio a determinare il segno?
Grazie mille per l'aiuto
Risposte
Ti do una mano per il primo. Puoi usare la gerarchia degli infiniti. Per x che tende a $ +oo $ $ x+4 $ andrà a $ +oo $ più velocemente di $ sqrt(2x-1) $ dunque il risultato del limite è 0
Nel primo, visto che tende a $+oo$ e quindi non hai problemi di segno potresti portare dentro radice il fattore esterno:
$lim_(x->+∞) sqrt(2x-1)/(x+4 )=lim_(x->+∞) sqrt((2x-1)/(x^2+8x+16) )$ oppure raccogliere la $x$
$lim_(x->+∞) sqrt(2x-1)/(x+4 )=lim_(x->+∞) (x*sqrt(2/x-1/x^2))/(x(1+4/x))$
Nel secondo stabilisci il segno con la regola dei segni: il numeratore tende ad infinito a causa di $2x^4$ che essendo potenza pari va a $+oo$, mentre il denominatore, da solo, tende a $-oo$ perché $x^3$ è potenza di grado dispari, quindi il segno del rapporto sarà $(+/- ) = -$
$lim_(x->+∞) sqrt(2x-1)/(x+4 )=lim_(x->+∞) sqrt((2x-1)/(x^2+8x+16) )$ oppure raccogliere la $x$
$lim_(x->+∞) sqrt(2x-1)/(x+4 )=lim_(x->+∞) (x*sqrt(2/x-1/x^2))/(x(1+4/x))$
Nel secondo stabilisci il segno con la regola dei segni: il numeratore tende ad infinito a causa di $2x^4$ che essendo potenza pari va a $+oo$, mentre il denominatore, da solo, tende a $-oo$ perché $x^3$ è potenza di grado dispari, quindi il segno del rapporto sarà $(+/- ) = -$
caro poppilop voglio darti un suggerimento anche io. i limiti sono semplici e risolvibili entrambi guardando come suggerisce xAle la "gerarchia" cioè confronta numeratore e denominatore e immagina che succede se al posto della x sostituisci un numero molto grande... il risultato in entrambi i casi è evidente... pensa anche al consiglio di melia per il secondo... basta ragionarci un attimo e dai subito i due risultati!
Ok, grazie mille per l'aiuto! Tuttavia, mi è capito questo limite tra le mani $lim x->0+ ((log2(x)-1)/(((log2(x))^2+log2(x)) ))$, non so proprio come operare, potreste darmi una mano?
Sono tutti logaritmi in base due. Scusate ma non sono riuscito a scriverli bene
Sono tutti logaritmi in base due. Scusate ma non sono riuscito a scriverli bene
Mi pare che l'esercizio sia questo
$lim_(x->0+) ((log_2(x)-1)/(((log_2(x))^2+log_2(x)) ))$
Raccogliendo e semplificando $log_2(x)$ ottieni $lim_(x->0+) (1-1/(log_2(x)))/(log_2(x)+1) $ e questo dovrebbe risultare più facile perché privo di forme indeterminate.
$lim_(x->0+) ((log_2(x)-1)/(((log_2(x))^2+log_2(x)) ))$
Raccogliendo e semplificando $log_2(x)$ ottieni $lim_(x->0+) (1-1/(log_2(x)))/(log_2(x)+1) $ e questo dovrebbe risultare più facile perché privo di forme indeterminate.
Grazie mille! 
E se avessi un limite del genere, come dovrei comportarmi?
$lim x->3 (x-3)^3/(sqrt(3-x) - (x-3)^3)$?
Ho sostituito e viene fuori una forma indeterminata del tipo $0/0$. La cosa più ovvia da fare sarebbe la razionalizzazione del denominatore, ma per cosa devo moltiplicare?
$lim x->3 (x-3)^3/(sqrt(3-x) - (x-3)^3)$?
Ho sostituito e viene fuori una forma indeterminata del tipo $0/0$. La cosa più ovvia da fare sarebbe la razionalizzazione del denominatore, ma per cosa devo moltiplicare?
Ciao,
ti basta raccogliere e semplificare così:
\[
\frac{-\left(3-x\right)^3}{\left(3-x\right)^{\frac{1}{2}}\left(1+\left(3-x\right)^{\frac{5}{2}}\right)} = \frac{-\left(3-x\right)^{\frac{5}{2}}}{1+\left(3-x\right)^{\frac{5}{2}}}
\] Quando passi al limite ottieni $0/(1+0) = 0$.
ti basta raccogliere e semplificare così:
\[
\frac{-\left(3-x\right)^3}{\left(3-x\right)^{\frac{1}{2}}\left(1+\left(3-x\right)^{\frac{5}{2}}\right)} = \frac{-\left(3-x\right)^{\frac{5}{2}}}{1+\left(3-x\right)^{\frac{5}{2}}}
\] Quando passi al limite ottieni $0/(1+0) = 0$.
@ poppilop. Un consiglio per la scrittura: $lim_(x->3)$ si scrive lim_(x->3); la guida indica anche un altro metodo, ma questo è più vicino a quanto già scrivi.
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