Problemi su massimi

[ZartoM]

Un proiettile viene lanciato in pianura da un punto O con velocità $v$ e sotto un angolo di tiro $\alpha$ . Il proiettile ricade al suolo nel punto G dopo aver percorso una traiettoria parabolica che, in assenza di attriti, è data dalla legge $y=-(gx^2)/(2v^2cos^2\alpha) + xtg\alpha$ (g accelerazione di gravità).
Determinare l'angolo $\alpha$ di tiro in modo che la fittata sia massima.

in questo caso devo calcolare la derivata prima della funzione porla uguale a zero e calcolare $\alpha$ no?

Trovare due numeri, la cui somma è $2a$, con $a>0$, tali che la somma delle loro radici quadrate sia massima.

Questo è banale solo che non riesco a trovare la funzione....


Grazie in anticipo

[Steven11]

Il primo è un classico.
Inizia a trovare la formula della gittata.

Per il secondo, detti $x,y$ i due numeri, hai
$x+y=2a$
devi massimizzare
$sqrtx+sqrty$ Ma $y$ puoi scriverlo in funzione di x...

[ZartoM]

riguardo il primo: per ottenere la formula dobbiamo intersecare la funzione con $y=0$. ottenendo quindi $x[-gx/(2v^2cos^2\alpha) + tg\alpha]=0$

dato che x non può essere 0

$-gx/(2v^2cos^2\alpha) + tg\alpha=0$

esplicito x e con i vari calcoli viene

$x=(v^2)/(g)*sen(2\alpha)$

e adesso?

[Steven11]

Adesso hai che la gittata $x$ dipende dal valore di $v^2$, $g$ e $sin(2alpha)$.
Ma la velocità e l'acc. di gravità sono fissate, quindi tutto dipende da $alpha$. Variando $alpha$, varia $sin(2alpha)$, e varia $x$.

In particolare vedi bene che se $sin(2alpha)$ aumenta, $x$ aumenta.
Fino a quanto può aumentare $sin(2alpha)$ ?

[ZartoM]

quindi in un certo senso è come se facessimo la derivata della gittata in base alla variazione di $\alpha$ in modo che $x'= (v^2)/g * 2cos(2\alpha)$
e quindi ponendo uguale a 0 avremo $cos(2x)=0$ $x=45$ giusto?

[Steven11]

Sì.
O più semplicemente, senza scomodare le derivate, notare che $sin(2alpha)$ ha come valore massimo $1$ (è un seno, oltre non andrà mai), quindi il massimo valore della $x$ è
$v^2/g$ quando
$sin(2alpha)=1$ ovvero appunto $alpha=pi/4$