Problemi strani con la trigonometria
Salve avrei un problema con un problema!
In un triangolo isoscele il rapporto fra i raggi della circonferenza inscritta e circoscritta è 1/2 : determina gli angoli del triangolo..
Per fare questo problema ho per prima cosa letto i due raggi in funzione di uno dei lati congruenti, nel mio caso AC e in funzione dell'angolo alfa, uno dei due alla base, sostituendo tutto nelle relazione tra i due raggi del problema ottengo un'equazione dove AC si elimina e rimane solo seno di alfa e alfa/2, purtroppo viene è molto strano perchè l'equazione non si riesce a risolvere...credo di aver sbagliato qualcosa nel ragionamento...come si procede per questo problema?
Ho provato anche a dimostrare che i due centri coincidono a partire dal dato principale...però non so se va bene, in un triangolo isoscele una circonferenza inscritta taglia l'altezza in tre parti uguali?
In un triangolo isoscele il rapporto fra i raggi della circonferenza inscritta e circoscritta è 1/2 : determina gli angoli del triangolo..
Per fare questo problema ho per prima cosa letto i due raggi in funzione di uno dei lati congruenti, nel mio caso AC e in funzione dell'angolo alfa, uno dei due alla base, sostituendo tutto nelle relazione tra i due raggi del problema ottengo un'equazione dove AC si elimina e rimane solo seno di alfa e alfa/2, purtroppo viene è molto strano perchè l'equazione non si riesce a risolvere...credo di aver sbagliato qualcosa nel ragionamento...come si procede per questo problema?
Ho provato anche a dimostrare che i due centri coincidono a partire dal dato principale...però non so se va bene, in un triangolo isoscele una circonferenza inscritta taglia l'altezza in tre parti uguali?
Risposte
L'impostazione iniziale va bene, ma poi mi pare che tu abbia introdotto qualche inutile complicazione. Posto AC=BC=a; p=semiperimetro ed S=area di ABC; r=raggio del cerchio inscritto; R=raggio del cerchio circoscritto, si ha
$r=S/p$ nonché $a=2Rsen alpha$.
Nell'equazione risultante, ho poi notato che $sen^2 alpha=(1+cos alpha)(1-cos alpha)$ e quindi si può semplificare, scartando una soluzione non accettabile. L'unica soluzione è il triangolo equilatero.
Quanto al fatto che i due centri coincidano, dovrei pensarci con calma, ma scommetterei che è vero solo nei triangoli equilateri e non negli altri isosceli.
$r=S/p$ nonché $a=2Rsen alpha$.
Nell'equazione risultante, ho poi notato che $sen^2 alpha=(1+cos alpha)(1-cos alpha)$ e quindi si può semplificare, scartando una soluzione non accettabile. L'unica soluzione è il triangolo equilatero.
Quanto al fatto che i due centri coincidano, dovrei pensarci con calma, ma scommetterei che è vero solo nei triangoli equilateri e non negli altri isosceli.
Ma da dove esce la forumla con il semiperimetro? si dimostra? Non l'ho capita proprio..con il semiperimetro non mi ricavo lo stesso un'altra incognita?
Come dice giustamente giammaria, i centri coincidono solo sui triangoli equilateri.
Per dimostrare la formula con il semiperimetro, disegna un triangolo qualsiasi di lati a, b, c e il cerchio inscritto di raggio r. Congiungi i vertici del triangolo con il centro del cerchio. Il triangolo iniziale viene diviso in tre triangoli. Traccia i raggi nel punti di tangenza dei lati al cerchio. Dei tre triangoli hai per ciascuno la base (a, b o c) e l'altezza che è r. L'area del triangolo iniziale è la somma delle aree dei tre triangoli: $S=1/2 a*r+1/2b*r+1/2c*r=1/2(a+b+c)*r$, ma $1/2(a+b+c)$ è il semiperimetro, da cui la formula che ha usato giammaria.
Per dimostrare la formula con il semiperimetro, disegna un triangolo qualsiasi di lati a, b, c e il cerchio inscritto di raggio r. Congiungi i vertici del triangolo con il centro del cerchio. Il triangolo iniziale viene diviso in tre triangoli. Traccia i raggi nel punti di tangenza dei lati al cerchio. Dei tre triangoli hai per ciascuno la base (a, b o c) e l'altezza che è r. L'area del triangolo iniziale è la somma delle aree dei tre triangoli: $S=1/2 a*r+1/2b*r+1/2c*r=1/2(a+b+c)*r$, ma $1/2(a+b+c)$ è il semiperimetro, da cui la formula che ha usato giammaria.
Scusate se insisto, ma non capisco in che modo quella relazione col p mi puo' essere utile
Rettifico
Dopo un'equazione alquanto lunga e contorta e più sostituzioni mi viene
Rettifico
Dopo un'equazione alquanto lunga e contorta e più sostituzioni mi viene
Indica con a la misura dei due lati ugali e con $x$ ciascun angolo alla base, con la condizione $0
L'area è $S=a^2*cos x sin x$, il raggio del cerchio inscritto è $r=(a *cosx* sinx)/(1+cosx)$
Per il teorema della corda il raggio rel cerchio circoscritto è $R=a/(2 sinx)$
Per le ipotesi del teorema $R=2r$, quindi $a/(2 sinx)=2*(a *cosx *sinx)/(1+cosx)$
Per semplificare la scrittura indico con $s$ il seno di x e con $c$ il coseno di x, facendo denominatore comune e semplificando $a$, ottieni $4s^2c=1+c$, trasformo il seno in un coseno
$4(1-c^2)*c-(1+c)=0$
$4(1-c)(1+c)*c-(1+c)=0$
$(1+c)(4c-4c^2-1)=0$
$1+c=0$ non dà soluzione accettabile per il dominio di $ x$, resta $4c-4c^2-1=0$ che diventa $(2c-1)^2=0$, da cui l'unica soluzione accettabile $cos x=1/2$ e $x=pi/3$ perciò il triangolo è equilatero.
L'area è $S=a^2*cos x sin x$, il raggio del cerchio inscritto è $r=(a *cosx* sinx)/(1+cosx)$
Per il teorema della corda il raggio rel cerchio circoscritto è $R=a/(2 sinx)$
Per le ipotesi del teorema $R=2r$, quindi $a/(2 sinx)=2*(a *cosx *sinx)/(1+cosx)$
Per semplificare la scrittura indico con $s$ il seno di x e con $c$ il coseno di x, facendo denominatore comune e semplificando $a$, ottieni $4s^2c=1+c$, trasformo il seno in un coseno
$4(1-c^2)*c-(1+c)=0$
$4(1-c)(1+c)*c-(1+c)=0$
$(1+c)(4c-4c^2-1)=0$
$1+c=0$ non dà soluzione accettabile per il dominio di $ x$, resta $4c-4c^2-1=0$ che diventa $(2c-1)^2=0$, da cui l'unica soluzione accettabile $cos x=1/2$ e $x=pi/3$ perciò il triangolo è equilatero.
Grazie mille per l'aiuto!
Mentre @melia ti spiegava il mio ragionamento, io ho provato a seguire il tuo: evidentemente hai trovato l'incentro O come intersezione fra la bisettrice di $hatA$ e l'altezza CH. Dovresti aver ottenuto
$r=acos alpha tg(a/2)=(a cos alpha sen(alpha/2))/(cos(alpha/2))$
$R=a/(2sen alpha)=a/(4sen(alpha/2) cos(alpha/2))$
ottenendo alla fine l'equazione
$8cos alpha sen^2(alpha/2)=1$
La si risolve molto facilmente scrivendola come
$8cos alpha*(1-cos alpha)/2=1$
$r=acos alpha tg(a/2)=(a cos alpha sen(alpha/2))/(cos(alpha/2))$
$R=a/(2sen alpha)=a/(4sen(alpha/2) cos(alpha/2))$
ottenendo alla fine l'equazione
$8cos alpha sen^2(alpha/2)=1$
La si risolve molto facilmente scrivendola come
$8cos alpha*(1-cos alpha)/2=1$
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