Problemi matematica - Coniche.

[jaja.clef]

Salve a tutti! Domani ho compito di matematica, e il professore ci ha proposto qualche tipo di esercizi che potrebbero esserci nel compito. Io ho provato a fare questi due, e del primo so che dobbiamo fare un sistema con x= (e l'ascissa del punto P) e y= (l'ordinata del punto P). Però non so come continuare, e come rispondere alle domande.
Del secondo esercizio non so proprio dove incominciare :S
Potete aiutarmi? Grazie :)

1) Determinare il luogo dei punti P(

[math]\sqrt{k-3}[/math]

; 1-k) del piano le cui coordinate dipendono dal parametro k. Quali sono le limitazioni da imporre a k e i conseguenti intervalli di variazione delle coordinate di P? Quale curva descrive P al variare di k?


2) Dopo aver dappredentato il dominio
D :

[math]\begin{cases} x^2+y^2-4x \le 0 \\ y- \frac{1}{2}x^2+2x \ge 0
\end{cases} [/math]

Determinarne la superficie. Inoltre, dopo aver studiato la natura del fascio di rette mx-y+m=0 , determinare per quali valori di m le rette del fascio intersecano D.

Grazie ancora! :D

Aggiunto 5 minuti più tardi:

Il dominio del secondo esercizio era:

[math]\begin{cases} x^2 + y^2 -4x ≤ 0 \\ y - (1/2)x^2 + 2x ≥ 0
\end{cases} [/math]

Aggiunto 54 secondi più tardi:

Non mi vengono i simboli mi sa -.- Della prima equazione del Dominio è MINORE-UGUALE
Della seconda è MAGGIORE-UGUALE

Aggiunto 48 minuti più tardi:

Grazie BIT5 :D questo l'ho capito :) Grazie mille ! :D

[BIT5]

1) per prima cosa abbiamo che l'ascissa e'

[math] \sqrt{k-3} [/math]

che esiste per

[math] k \ge 3 [/math]

Automaticamente possiamo concludere che x sara' sempre maggiore di zero, qualunque sia il valore di k.

E siccome y=1-k, con k>=3, avremo

[math] k=1-y [/math]

e quindi siccome

[math] k \ge 3 [/math]

allora

[math] 1-y \ge 3 \to y \le -2 [/math]

il luogo dei punti sara':

[math] \{x= \sqrt{k-3} \\ y=1-k [/math]

dalla seconda k=1-y e quindi la prima diverra'

[math] x= \sqrt{1-y-3} \to x= \sqrt{-2-y} [/math]

Con le limitazioni del caso (x sara' sempre maggiore di zero, la radice restituira' un valore positivo sempre) possiamo elevare al quadrato e avremo

[math] x^2=-2-y \to y=-x^2-2 [/math]

La parabola, per quanto detto prima, esistera' per x>0 e pertanto avremo la rappresentazione di un "pezzo" soltano della parabola