Problemi Matematica con il Differenziale
1 - Utilizzare il differenziale per stimare la quantità d'oro necessaria per applicare uno strato d'oro di spessore 3*10^-5 cm ad un ciondolo cubico di lato 2cm
a) Studiare la concavità per capire l'approssimazione (difetto o eccesso)
b) Disegnare grafico (fubzione e Tangente)
2 - Sulle facce di un cubo di lato 10cm è applicata una mano di vernice di 0,02 cm.
a) Utilizzare il differenziale per approssimare la quantità di vernice utilizzata
b) Stimare l'errore dell'approssimazione
c) Visualizzare graficamente l'espressione
a) Studiare la concavità per capire l'approssimazione (difetto o eccesso)
b) Disegnare grafico (fubzione e Tangente)
2 - Sulle facce di un cubo di lato 10cm è applicata una mano di vernice di 0,02 cm.
a) Utilizzare il differenziale per approssimare la quantità di vernice utilizzata
b) Stimare l'errore dell'approssimazione
c) Visualizzare graficamente l'espressione
Risposte
Allora, in linea generale questo tipo di esercizi richiede di determinare una certa funzione che dipenda dalla variabile che si vuole cambiare.
Nel caso del volume di un cubo, la funzione che lega volume e spigolo dello stesso è
dove V è il volume e
A questo punto basta sostituire i valori noti per lo spigolo (lato) e per l'incremento cercato per determinare la variazione di volume (e quindi l'incremento di volume) nei due casi.
Poiché in entrambi i casi si oarla della stessa funzione, ti dico in generale quali siano le sue caratteristiche:
Essa è definita ovunque, sempre positiva, si annulla in x=0, tende a
per cui la funzione è strettamente monotona crescanete con punto di minimo in x=0, la sua derivata seconda è
per cui la funzione è convessa (concavità verso l'alto) e non presenta flessi.
La derivata seconda ti permette anche di affermare che, in generale, le approssimazioni fatte con questo metodo per questa funzione sono sempre per eccesso (la curva si mantiene sempre sopra le tangenti punto per punto.)
Nel caso del volume di un cubo, la funzione che lega volume e spigolo dello stesso è
[math]V=\ell^3[/math]
dove V è il volume e
[math]\ell[/math]
lo spigolo. Ne segue che la variazione di volume è correlata alla variazione dello spigolo dalla relazione[math]dV=3\ell^2\ d\ell[/math]
A questo punto basta sostituire i valori noti per lo spigolo (lato) e per l'incremento cercato per determinare la variazione di volume (e quindi l'incremento di volume) nei due casi.
Poiché in entrambi i casi si oarla della stessa funzione, ti dico in generale quali siano le sue caratteristiche:
[math]f(x)=x^3,\qquad x\geq 0\quad (\text{x \grave{e} un lato, quindi positivo})[/math]
Essa è definita ovunque, sempre positiva, si annulla in x=0, tende a
[math]+\infty[/math]
per x che tende ad infinito, non presenta asintoti, la sua derivata prima è[math]f'(x)=3x^2[/math]
per cui la funzione è strettamente monotona crescanete con punto di minimo in x=0, la sua derivata seconda è
[math]f''(x)=6x[/math]
per cui la funzione è convessa (concavità verso l'alto) e non presenta flessi.
La derivata seconda ti permette anche di affermare che, in generale, le approssimazioni fatte con questo metodo per questa funzione sono sempre per eccesso (la curva si mantiene sempre sopra le tangenti punto per punto.)
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