Problemi massimi e minimi

[Mario93.]

Circoscrivere ad un dato cilindro il cono di volume massimo. chi mi aiuta ?

[BIT5]

Per prima cosa, quando studi problemi di geometria solida, ti conviene schematizzare il disegno con due poligoni equivalenti rappresentanti le figure. Questa sara' la rappresentazione della sezione dei solidi nella parte massima.

Il cilindro, sezionato con un piano perpendicolare alla base e passante per il centro della circonferenza di base, e' un rettangolo, mentre il cono (che circoscritto al cilindro condivide il centro della circonferenza di base) sara' un triangolo isoscele.

Chiamiamo r il raggio della circonferenza di base del cilindro (dato noto) e h la sua altezza (anch'essa nota)

Disegneremo dunque un triangolo isoscele di base NM e vertice O, e inscritto ad esso, un rettangolo di base inferiore AB, base superiore CD.

La base AB sta sul segmento MN.
L'altezza OH del triangolo isoscele relativa alla base MN dividera' il rettangolo in due meta'.

Chiamiamo x l'altezza (non nota) del triangolo MNO, e chiamiamo K il punto di intersezione dell'altezza con la base superiore del rettangolo (CD)

le limitazioni saranno imposte da x>h

Avremo che EK=x-h (dove ricordati, h e' nota, x e' un'incognita).

Per avere il volume del cono

[math] V= \frac{\pi r^2 \cdot h}{3} [/math]

ci occorrono l'altezza (x) e il raggio di base (MH).

Considera il triangolo ODK. esso e' rettangolo, e di questo conosciamo i cateti (x-h e r dove, ribadisco, h e r sono dati noti (il "dato cilindro" ha tutti i dati noti)

Il triangolo MOH e0 simile al triangolo ODK in quanto condivide un angolo (quello in O) e sono entrambi rettangoli.

Pertanto possiamo ricavare MH (raggio della circonferenza di base del cono) attraverso la proporzione

[math] \bar{MH} : \bar{OH} = \bar{DK} : \bar{OK} [/math]

ovvero

[math] \bar{MH} : x = r : x-h [/math]

quindi

[math] \bar{MH} = \frac{rx}{x-h} [/math]

il volume del cono sara' dunque

[math] V(x)= \frac{\pi \(\frac{rx}{x-h}\)^2 \cdot x}{3} = \frac{\pi r^2x^3}{3(x-h)^2}[/math]

raccogliamo tutto quello che e' costante, per semplificare il calcolo della derivata

[math] V(x)= \frac{\pi r^2}{3} \cdot \frac{x^3}{(x-h)^2} [/math]

per cui

[math] V'(x) = \frac{\pi r^2}{3} \[ \frac{3x^2(x-h)^2 - x^3(2(x-h))}{(x-h)^4} \] [/math]

A questo punto raccoglimo il fattore comune x-h

[math] V'(x) = \frac{\pi r^2}{3} \[(x-h) \frac{3x^2(x-h)-x^3(2)}{(x-h)^ 4} \] [/math]

moltiplichiamo e semplifichiamo

[math] V'(x) = \frac{\pi r^2}{3} \[\no{(x-h)} \frac{3x^3-3x^2h-2x^3}{(x-h)^{\no{4}^3} \] [/math]

rimarra'

[math] V'(x) = \frac{\pi r^2}{3} \frac{x^3-3x^2h}{(x-h)^3} [/math]

raccogliamo

[math] x^2 [/math]

[math] V'(x) = \frac{\pi r^2}{3} \cdot x^2 \cdot \frac{x-3h}{(x-h)^3} [/math]

studiamo il segno della derivata

[math] \frac{\pi r^2}{3} [/math]

e' una quantita' positiva e non interessa

[math] x^2 [/math]

e' una quantita sempre positiva (o al piu' nulla se x=0 non ammessa dalle limitazioni iniziali)

il numeratore e' positivo per x>3h

il denominatore per x>h (ovvero sempre nelle limitazioni iniziali)

Pertanto la funzione cresce fino a 3h e poi decresce.

In x=3h avremo un punto di massimo, pertanto il volume massimo.

Il cono di volume massimo e' quello che ha l'altezza pari a 3 volte l'altezza del cilindro