Problemi integrali
Y = x arcotg(x)
Data la funzione il testo chiede di dimostrare che l' insieme limitato dal grafico della funzione e dai suoi asintoti ha area finita e calcolarne il valore.
Dopo aver fatto il grafico Avevo pensato di calcolare l'integrale da -infinito a + infinito della funzione per poi sommare l area del triangolo formato dagli asintoti e dalla asse x.
Tuttavia non sono riuscito a calcolarne la primitiva.
Inoltre non credo sia corretto perche il testi chiede un insieme limitato , e non da - infinito a +infinito.
Data la funzione il testo chiede di dimostrare che l' insieme limitato dal grafico della funzione e dai suoi asintoti ha area finita e calcolarne il valore.
Dopo aver fatto il grafico Avevo pensato di calcolare l'integrale da -infinito a + infinito della funzione per poi sommare l area del triangolo formato dagli asintoti e dalla asse x.
Tuttavia non sono riuscito a calcolarne la primitiva.
Inoltre non credo sia corretto perche il testi chiede un insieme limitato , e non da - infinito a +infinito.
Risposte
ciao Anto tesone
Allora prima di tutto dovresti studiare la funzione... farne il grafico... se non altro per vedere dove e quali sono i suoi asintoti.
Se fai i limiti della funzione agli estremi del dominio ti accorgi che non ci sono asintoti verticali nè orizzontali.... si tratta invece di asintoti obliqui
$lim_(x->infty) (x arctg x)/x = lim_(x->infty) arctg x = pi/2$
$lim_(x->-infty) (x arctg x)/x = lim_(x->-infty) arctg x = -pi/2$
$lim_(x->+-infty) (x arctg x)- pi/2 x = -1$ radianti
quindi gli asintoti obliqui sono le rette
$y=+-pi/2x-1$
Se non vado errato la primitiva della funzione dovrebbe essere
$int x arctg x dx = 1/2 (x^2+1) arctgx - x/2$
fatto per parti, consideri $x$ fattore da integrare e $arctgx$ fattore da derivare
Detto questo non capisco bene che cosa chiede l'esercizio perchè a occhio lo spazio tra la curva e i suoi asintoti mi pare divergente all'infinito...
Allora prima di tutto dovresti studiare la funzione... farne il grafico... se non altro per vedere dove e quali sono i suoi asintoti.
Se fai i limiti della funzione agli estremi del dominio ti accorgi che non ci sono asintoti verticali nè orizzontali.... si tratta invece di asintoti obliqui
$lim_(x->infty) (x arctg x)/x = lim_(x->infty) arctg x = pi/2$
$lim_(x->-infty) (x arctg x)/x = lim_(x->-infty) arctg x = -pi/2$
$lim_(x->+-infty) (x arctg x)- pi/2 x = -1$ radianti
quindi gli asintoti obliqui sono le rette
$y=+-pi/2x-1$
Se non vado errato la primitiva della funzione dovrebbe essere
$int x arctg x dx = 1/2 (x^2+1) arctgx - x/2$
fatto per parti, consideri $x$ fattore da integrare e $arctgx$ fattore da derivare
Detto questo non capisco bene che cosa chiede l'esercizio perchè a occhio lo spazio tra la curva e i suoi asintoti mi pare divergente all'infinito...
"anto.tesone1":
... l' insieme limitato dal grafico della funzione e dai suoi asintoti ...
Non significa che tale insieme sia limitato, ma che il suo "bordo" è formato dalla funzione e dai suoi asintoti.
Detto questo, sono d'accordo con mazzarri, l'area mi viene divergente.
Lo studio di funzione lo avevi fatto purtroppo ho dimenticato di postare la foto 
proprio perche gli asintoti sono obliqui e non ci sono intersezioni ho pensato di calcolare l'integrale fa -infinito a +infinito e sommare l area del triangolo In basso.
Cmq data la primitiva da te trovata se la si calcola in +- infinito non si ottengono valori
proprio perche gli asintoti sono obliqui e non ci sono intersezioni ho pensato di calcolare l'integrale fa -infinito a +infinito e sommare l area del triangolo In basso.Cmq data la primitiva da te trovata se la si calcola in +- infinito non si ottengono valori
l'area cercata è il doppio del valore di $ int_(0)^(+infty) (xarctgx-pi/2x+1) dx $
una primitiva dell'integrando è $x^2/2(arctgx-pi/2)+1/2x+1/2arctgx$
per $x rarr +infty$ il primo addendo della primitiva è asintotico a $-1/2x$
quindi il valore delll'integrale improprio è $pi/4$
una primitiva dell'integrando è $x^2/2(arctgx-pi/2)+1/2x+1/2arctgx$
per $x rarr +infty$ il primo addendo della primitiva è asintotico a $-1/2x$
quindi il valore delll'integrale improprio è $pi/4$
"quantunquemente":
l'area cercata è il doppio del valore di $ int_(0)^(+infty) (xarctgx-pi/2x+1) dx $
una primitiva dell'integrando è $x^2/2(arctgx-pi/2)+1/2x+1/2arctgx$
per $x rarr +infty$ il primo addendo della primitiva è asintotico a $-1/2x$
quindi il valore delll'integrale improprio è $pi/4$
ciao Quantunquemente!
Avevo pensato anche io di agire così come dici tu ma... non mi tornano i conti
$int (x arctgx-pi/2 x +1)dx = x^2/2 arctg x -pi/4 x^2 +1/2 arctg x +x/2$
sempre che non abbia sbagliato i calcoli
E all'infinito resta comunque l'ultimo termine che fa divergere tutto...
ciao mazzarri
ma,come già detto, il primo addendo delle primitiva (scritta nella mia forma) è asintotico a $-1/2x$ che si elide con $1/2x$
quindi alla fine l'integrale è uguale $ lim_(x -> +infty)1/2arctgx $
edit : mi sono reso conto di aver fatto un errore concettuale: il fatto che 2 funzioni siano asintotiche non implica che la loro differenza tenda a zero
quindi bisogna calcolare direttamente $ lim_(x -> +infty) x^2/2(arctgx-pi/2)+1/2x $ e questo limite vale effettivamente zero
ma,come già detto, il primo addendo delle primitiva (scritta nella mia forma) è asintotico a $-1/2x$ che si elide con $1/2x$
quindi alla fine l'integrale è uguale $ lim_(x -> +infty)1/2arctgx $
edit : mi sono reso conto di aver fatto un errore concettuale: il fatto che 2 funzioni siano asintotiche non implica che la loro differenza tenda a zero
quindi bisogna calcolare direttamente $ lim_(x -> +infty) x^2/2(arctgx-pi/2)+1/2x $ e questo limite vale effettivamente zero
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