Problemi geometria con equazioni di secondo grado

[principessa-.-]

Un rettangolo è equivalente a un quadrato di lato 10 cm. determina il perimetro del rettangolo, sapendo che la metà della base sommata al doppio dell'altezza è 20 cm.
Allora queste due figure quindi hanno la stessa area.
Potete spiegarmi tutti i passaggi? io ho messo in forma di equazione la seconda parte " la metà della base...." e poi come si continua?
Grazie :)

[Ali Q]

Soluzione:

Due poligoni sono equivalenti quando hanno la stessa area.
Conoscendo il lato del quadrato, è possibile determinarne l'area.
A= lxl= 10 x 10 = 100 cm^2.
Questa è anche l'area del rettangolo.

Ora, chiamiamo B e b le sue dimensioni del rettangolo. sono le due incognite del problema, note le quali si può calcolare il perimetro.
Per determinare il valore di due incognite, si necessita di due equazioni.

Possiamo scrivere che Bxb= A = 100 cm^2. E questa è una prima equazione.

Una seconda equazione ce la fornisce il testo del problema.
Il problema ci dice infatti che: "la metà della base sommata al doppio dell'altezza è 20 cm".

Messo in forma matematica, tutto questo significa che: B/2 +2b= 20 cm. Questa è la seconda equazione.

Ricapitolando:
Bxb=100
B/2 +2b = 20.

Dalla prima equazione ricavo che B=100/b.
Sostituisco questo valore nella seconda equazione:
B/2 +2b = (100/b)/2 +2b = 20
Ovvero: 100/2b +2b=20.
Moltiplico tutto quanto per 2b, in modo da eliminare il denominatore:
100 +4b^2 =40 b.
Riordinando i termini ottengo che: 4b^2-40b+100=0.
E' una equazione di secondo grado, che risolvo con le formule usuali:

Delta = (-40)^2 -4(4x100) = 1600 - 1600=0
Quando il Delta è pari a zero, si ottiene un'unica soluzione.
b= -(-40)/(2 x 4) = 40/8 = 5 cm.

Sappiamo poic he B= 100/b = 100/5 = 20 cm.

Il perimetro è pari a: P= 2 x b + 2x B = 10 + 40 = 50 cm.

Fine. Ciao!