PROBLEMI GEOMETRIA CON CRITERI DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI
Ciao a tutti, sono uno studente di 15 anni e sto (putroppo) per iniziare il mio 2^ anno di liceo scientifico. La mia prof ha assegnato per le vacanze 2 problemi che putroppo non riesco proprio a capire e a svolgere. Vi prego cercate di darmi una mano!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1^ prob:Disegna un triangolo isoscele ABC, di base BC e l'angolo di vertice A acuto. Traccia le altezze BH e CK relative ai lati AC e AB e prolunga tali altezze dei segmenti HB' congruente a BH e KC' congruente a CK. Sia A' il punto di intersezione della retta BC' con la retta B'C. Dimostra che:
a) i triangoli ABC,AC'B e AB'C sono congruenti
b) il triangolo A'B'C' è isoscele
2^ prob:Disegna un triangolo isoscele ABC in modo che la base AB sia minore del lato obliquo. Prolunga il lato CA di un segmento AE congruente alla differenza fra il lato obliquo e la base. Prolunga poi la base AB di un segmento BF che è congruente a AE. Dimostra che:
CF è congruente a EF. (Suggerimento dato dal libro: considera AF come somma di segmenti)
ARGOMENTI DI QUESTI 2 PROBLEMI: I 3 CRITERI DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI; CARATTERISTICHE DI MEDIANA,ALTEZZA E BISETTRICE; TEOREMA DEL TRIANGOLO ISOSCELE; BISETTRICE DEL TRIANGOLO ISOSCELE (CHE è ANCHE ALTEZZA,MEDIANA RISPETTO ALLA BASE) ; 1^ TEOREMA DELL'ANGOLO ESTERNO
1^ prob:Disegna un triangolo isoscele ABC, di base BC e l'angolo di vertice A acuto. Traccia le altezze BH e CK relative ai lati AC e AB e prolunga tali altezze dei segmenti HB' congruente a BH e KC' congruente a CK. Sia A' il punto di intersezione della retta BC' con la retta B'C. Dimostra che:
a) i triangoli ABC,AC'B e AB'C sono congruenti
b) il triangolo A'B'C' è isoscele
2^ prob:Disegna un triangolo isoscele ABC in modo che la base AB sia minore del lato obliquo. Prolunga il lato CA di un segmento AE congruente alla differenza fra il lato obliquo e la base. Prolunga poi la base AB di un segmento BF che è congruente a AE. Dimostra che:
CF è congruente a EF. (Suggerimento dato dal libro: considera AF come somma di segmenti)
ARGOMENTI DI QUESTI 2 PROBLEMI: I 3 CRITERI DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI; CARATTERISTICHE DI MEDIANA,ALTEZZA E BISETTRICE; TEOREMA DEL TRIANGOLO ISOSCELE; BISETTRICE DEL TRIANGOLO ISOSCELE (CHE è ANCHE ALTEZZA,MEDIANA RISPETTO ALLA BASE) ; 1^ TEOREMA DELL'ANGOLO ESTERNO
Risposte
2- se fai bene il disegno noterai che CF e FE sono i lati corrispondenti di triangoli congruenti...
"marokkino92":
1^ prob:Disegna un triangolo isoscele ABC, di base BC e l'angolo di vertice A acuto. Traccia le altezze BH e CK relative ai lati AC e AB e prolunga tali altezze dei segmenti HB' congruente a BH e KC' congruente a CK. Sia A' il punto di intersezione della retta BC' con la retta B'C. Dimostra che:
a) i triangoli ABC,AC'B e AB'C sono congruenti
b) il triangolo A'B'C' è isoscele
Con riferimento al triangolo $ABC$, si traccino le altezze $BH$ e $CK$ relative ai lati obliqui $AB$ e $AC$ rispettivamente; quindi si considerino i triangoli $BHC$ e $CKB$ così ottenuti....
Dalla relazione tra questi due triangoli si ha che le altezze relative ai lati obliqui....
Poiché $HB'=BH$, $KC'=CK$ e $BH=CK$ allora .....
Si considerino i triangoli $BHC$ e $BHB'$: ....
La relazione tra questi due triangoli implica che....
Si considerino dunque i triangoli $ABC$ e $B B'A$: ....
Ragionando allo stesso modo per la coppia di triangoli $ABC$ e $AC'C$ si conclude che....
Si consideri ora il triangolo $BCA'$: in questo triangolo gli angoli $hat(A'BC)$ e $hat(A'CB)$ sono ....
Nel triangolo $A'B'C'$ si avrà dunque che ...
Ti ho dato degli indizi che dovrebbero aiutarti col primo problema...se qualche cosa ancora non ti è chiaro chiedi nuovamente.
"marokkino92":
2^ prob:Disegna un triangolo isoscele ABC in modo che la base AB sia minore del lato obliquo. Prolunga il lato CA di un segmento AE congruente alla differenza fra il lato obliquo e la base. Prolunga poi la base AB di un segmento BF che è congruente a AE. Dimostra che:
CF è congruente a EF. (Suggerimento dato dal libro: considera AF come somma di segmenti)
Si consideri che $AF=AB+BF$ ed essendo $AE=BF$ e $AE=AC-AB$ si ha che....
Questo implica che il triangolo $AFC$ è....
L'angolo $hat(FBC)$ è esterno di vertice $B$ per il triangolo $ABC$, quindi...
L'angolo $hat(EAF)$ è esterno di vertice $A$ per il triangolo $ABC$, quindi...
Mettendo tutto assieme si conclude che i triangoli $FAE$ e $CBF$ sono...e quindi la tesi.
P.S.: come prima: se qualcosa ancora sfugge chiedi di nuovo.
ciao wizard, grazie delle risposte ma potresti darmi ( se vuoi) qualche suggerimento in più perchè proprio non riesco a capire...( lo so ke sn ignorante......) grazie cmq ciao
"marokkino92":
1^ prob:Disegna un triangolo isoscele ABC, di base BC e l'angolo di vertice A acuto. Traccia le altezze BH e CK relative ai lati AC e AB e prolunga tali altezze dei segmenti HB' congruente a BH e KC' congruente a CK. Sia A' il punto di intersezione della retta BC' con la retta B'C. Dimostra che:
a) i triangoli ABC,AC'B e AB'C sono congruenti
b) il triangolo A'B'C' è isoscele
Con riferimento al triangolo $ABC$, si traccino le altezze $BH$ e $CK$ relative ai lati obliqui $AB$ e $AC$ rispettivamente; quindi si considerino i triangoli $BHC$ e $CKB$ così ottenuti: questi sono entrambi retti (in $H$ e in $K$ rispettivamente), hanno il lato $BC$ in comune e gli angoli $hat(CBH)$ e $hat(BCK)$ tra loro congruenti perchè angoli alla base di un triangolo isoscele: quindi sono congruenti.
Questo implica che le altezze relative ai lati obliqui sono tra loro congruenti: $BH=CK$.
Poiché $HB'=BH$, $KC'=CK$ e $BH=CK$ allora $HB'=BH=CK=KC'$.
Si considerino i triangoli $BHC$ e $BHB'$: questi hanno il lato $BH$ in comune, sono enrtambi retti e hanno $BH=HB'$, quindi, sono congruenti. Questo implica che $B B'=BC$ e $hat(B'BH)=hat(CBH)$.
Si considerino dunque i triangoli $ABC$ e $B B'A$: questi hanno $BA$ in comune, $hat(CBA)=hat(B'BA)$ e $B'B=BC$, quindi sono congruenti.
Ragionando allo stesso modo per la coppia di triangoli $ABC$ e $AC'C$ si conclude la dimostrazione del punto 1).
Per quanto appena mostrato si ha che $B B'=C C'$. Si consideri ora il triangolo $BCA'$: in questo triangolo gli angoli $hat(A'BC)$ e $hat(A'CB)$ sono angoli esterni di due triangoli conruenti relativi a due angoli congruenti e quindi sono congruenti; questo implica che il triangolo considerato è isoscele su base $BC$ e per tanto $A'B=A'C$.
Nel triangolo $A'B'C'$ si avrà dunque che $A'B'=A'B+B B'=A'C+C C'=A'C'$ il che conclude la dimostrazione.
"marokkino92":
2^ prob:Disegna un triangolo isoscele ABC in modo che la base AB sia minore del lato obliquo. Prolunga il lato CA di un segmento AE congruente alla differenza fra il lato obliquo e la base. Prolunga poi la base AB di un segmento BF che è congruente a AE. Dimostra che:
CF è congruente a EF. (Suggerimento dato dal libro: considera AF come somma di segmenti)
Si consideri che $AF=AB+BF$ ed essendo $AE=BF$ e $AE=AC-AB$ si ha che $AF=AB+BF=AB+AE=AB+AC-AB=AC$.
Questo implica che il triangolo $AFC$ è isoscele.
L'angolo $hat(FBC)$ è esterno di vertice $B$ per il triangolo $ABC$, quindi si ha che $hat(FBC)=hat(ABC)+hat(ACB)$.
L'angolo $hat(EAF)$ è esterno di vertice $A$ per il triangolo $ABC$, quindi si ah che $hat(EAF)=hat(ABC)+hat(ACB)$.
Poichè il triangolo $ABC$ è isoscele su base $AB si ha che $hat(BAC)=hat(ABC)$ e questo implica che $hat(FBC)=hat(EAF)$.
I triangoli $FAE$ e $CBF$ hanno $hat(FAE)=hat(FBC)$, $AE=BF$ e $AF=AC=CB$, quind sono congruenti: questo conclude la dimostrazione.
ti ringrazio ciao!!!!!!!!!!!
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