Problemi ellisse urgente

[AmoN]

scrivere l'equazione dell'ellisse riferita al centro e agli assi sapendo che passa per il punto (-2,-3) e che la somma dei reciproci dei quadrati dei semiassi è uguale a

[math]\frac{1}{7}[/math]

. Calcolare la misura della corda staccata dall'ellisse sulla retta di equazione x+y-5=0.
risultati : 2x^2 + 3y^2 = 35; 2

[math]\sqrt{2}[/math]

(importante la prima parte)



il quadrato inscritto nell'ellisse

[math]\frac{x^2}{a^2}[/math]

+

[math]\frac{y^2}{b^2}[/math]

=1 ha area di misura 16; scrivere l'equazione dell'ellisse sapendo che il semiasse maggiore a misura 4

[math]\sqrt{2}[/math]

e calcolare la misura dell'area del rettangolo inscritto nell'ellisse e avente il perimetro di misura 24.
risultati: x^2+7y^2=32; 20 ; 11.


grazie mille

[ciampax]

L'equazione da trovare è

[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math]

Il passaggio per il punto P(-2,-3) dà la condizione

[math]4/a^2+9/b^2=1[/math]

mentre la seconda condizione è

[math]1/a^2+1/b^2=1/7[/math]

Quest ultima dice che

[math]1/a^2=1/7-1/b^2[/math]

che sostituito nella prima conduce a

[math]4/7-4/b^2+9/b^2=1\Rightarrow 5/b^2=3/7\Rightarrow 1/b^2=3/35[/math]

e quindi

[math]1/a^2=2/35[/math]

per cui l'equazione è

[math]\frac{2x^2}{35}+\frac{3y^2}{35}=1[/math]

Esplicitando ora

[math]y=5-x[/math]

e sostituendo nell'equazione dell'ellisse si ha

[math]2x^2+75-30x+3x^2=35\Rightarrow x^2-6x+8=0[/math]

le cui soluzioni sono

[math]x=4, x=2[/math]

. Allora abbiamo pure

[math]y=1, y=3[/math]

, da cui i punti in cui l'ellisse interseca la retta

[math]A(4,1),\quad B(2,3)[/math]

Il segmento AB, che è la corda, misura allora

[math]AB=\sqrt{(4-2)^2+(1-3)^2}=2\sqrt{2}[/math]

L'altro te lo faccio dopo.... forse! :lol

[AmoN]

grazie mille....veramente...

se riesci a fare il secondo sei un mito....

grazie ancora

[ciampax]

Il lato del quadrato misura

[math]l=4[/math]

e per ragioni di simmetria sia del quadrato che dell'ellisse le coordinate dei vertici del quadrato saranno

[math]A(2,2), B(-2,2), C(-2,-2), D(2,-2)[/math]

. Inoltre, poiché

[math]a=4\sqrt{2}[/math]

abbiamo, essendo i punti del quadrato anche punti dell'ellisse

[math]4/32+4/b^2=1\Rightarrow 1/b^2=7/32[/math]

e l'equazione dell'ellisse è

[math]x^2+7y^2=32[/math]

Indichiamo con

[math]2\alpha, 2\beta[/math]

i lati del rettangolo: allora

[math]2(2\alpha+2\beta)=24\Rightarrow \alpha+\beta=6[/math]

Sempre per la simmetria, i vertici del rettangolo saranno i punti

[math]A_1(\alpha,\beta), B_1(-\alpha,\beta), C_1(-\alpha,-\beta), D_1(\alpha,-\beta)[/math]

e quindi

[math]\alpha^2+7\beta^2=32[/math]

Poiché

[math]\alpha=6-\beta[/math]

, allora

[math]36-12\beta+\beta^2+7\beta^2=32\Rightarrow 2\beta^2-3\beta+1=0[/math]

le cui soluzioni sono

[math]\beta=1, \beta=1/2[/math]

, da cui

[math]\alpha=5, \alpha=11/2[/math]

Nel primo caso i lati sono

[math]10,\ 2[/math]

e l'area è

[math]20[/math]

. nel secondo caso i lati misurano

[math]11,\ 1[/math]

e l'area è

[math]11[/math]

[AmoN]

grazie mille