Problemi e geometria solida.
Sia ABC un triangolo isoscele rettangolo in A,base di una piramide di vertice V e di altezza $ bar(VA)=bar(AB)=l. $.Sia A1B1C1 il triangolo che si ottiene sezionando la piramide con un piano alfa parallelo alla base.Determinare la distanza che il piano alfa deve avere dalla base affinchè la superficie laterale del tronco di piramide ABCA1B1C1 sia uguale a $ kl^2 $
SVOLGIMENTO:
Purtroppo il problema non mi viene.Non riesco a capire l'errore che commetto.Riporto i miei ragionamenti.
Chiamo x la distanza del piano alfa dalla base ABC,ricordando che ABC è un triangolo rettangolo isoscele.
$ 0<=x<=l $
Il triangolo sezione A1B1C1 è anch'esso un triangolo rettangolo isoscele.
Chiamo l-x la distanza del piano alfa dal vertice V della piramide.Sappiamo che se sezioniamo una piramide retta con un piano parallelo alla base otteniamo due solidi: una piramide più piccola e un tronco di piramide.
Dobbiamo trovare tutti i dati per calcolare l'area laterale del solido dopodichè la poniamo uguale a $ k*l^2 $...Quindi devo trovare:
1)il raggio della circonferenza inscritta in A1B1C1.
2)il raggio della circonferenza inscritta in ABC.
dopodichè considero il trapezio rettangolo che ha come base minore il raggio della circonferenza inscritta in A1B1C1.Per semplicità lo chiamo r1.La base maggiore è il raggio della circonferenza inscritta in ABC.
Fatto questo ho tutti i dati per ricavarmi l'apotema del tronco.Trovata l'apotema mi trovo l'equazione risolvente e il gioco è fatto.
Con una nota proporzione calcolo l'area del triangolo A1B1C1:
$ (l-x)^/2 $
Mi trovo il cateto di A1B1C1:
$ L=l-x $
Poi l'ipotenusa di A1B1C1:
$ I=sqrt(2)*(l-x) $.
Indico con $ P1 $ il perimetro di A1B1C1:
$ P1=(2+sqrt(2))*(l-x) $
.
Mi calcolo adesso r1=raggio della circonferenza inscritta in A1B1C1:
$ r1=(l-x)/(2+sqrt(2)) $ (l'ho ricavato applicando la formula per calcolare l'area di un poligono circoscritto a una circonferenza.)
Calcolo il perimetro di ABC:
$ p=l*(2+sqrt(2))$
calcolo poi r=raggio della circonferenza inscritta in ABC:
$ r=l/(2+sqrt(2))$
Calcolo poi l'apotema del trapezio rettangolo avente r1 come base minore e r2 come base maggiore.l'altezza è x.L'apotema trovata è quella del tronco di piramide.
$ a=sqrt(x^2+x^2/(2+sqrt(2))^2).$
Ciò nonostante quando imposto l'equazione il problema non viene...Dove sbaglio?
Voi direte che il testo non dice se la piramide è retta però so che in un triangolo è sempre possibile inscrivere e circoscrivere una circonferenza...
SVOLGIMENTO:
Purtroppo il problema non mi viene.Non riesco a capire l'errore che commetto.Riporto i miei ragionamenti.
Chiamo x la distanza del piano alfa dalla base ABC,ricordando che ABC è un triangolo rettangolo isoscele.
$ 0<=x<=l $
Il triangolo sezione A1B1C1 è anch'esso un triangolo rettangolo isoscele.
Chiamo l-x la distanza del piano alfa dal vertice V della piramide.Sappiamo che se sezioniamo una piramide retta con un piano parallelo alla base otteniamo due solidi: una piramide più piccola e un tronco di piramide.
Dobbiamo trovare tutti i dati per calcolare l'area laterale del solido dopodichè la poniamo uguale a $ k*l^2 $...Quindi devo trovare:
1)il raggio della circonferenza inscritta in A1B1C1.
2)il raggio della circonferenza inscritta in ABC.
dopodichè considero il trapezio rettangolo che ha come base minore il raggio della circonferenza inscritta in A1B1C1.Per semplicità lo chiamo r1.La base maggiore è il raggio della circonferenza inscritta in ABC.
Fatto questo ho tutti i dati per ricavarmi l'apotema del tronco.Trovata l'apotema mi trovo l'equazione risolvente e il gioco è fatto.
Con una nota proporzione calcolo l'area del triangolo A1B1C1:
$ (l-x)^/2 $
Mi trovo il cateto di A1B1C1:
$ L=l-x $
Poi l'ipotenusa di A1B1C1:
$ I=sqrt(2)*(l-x) $.
Indico con $ P1 $ il perimetro di A1B1C1:
$ P1=(2+sqrt(2))*(l-x) $
.
Mi calcolo adesso r1=raggio della circonferenza inscritta in A1B1C1:
$ r1=(l-x)/(2+sqrt(2)) $ (l'ho ricavato applicando la formula per calcolare l'area di un poligono circoscritto a una circonferenza.)
Calcolo il perimetro di ABC:
$ p=l*(2+sqrt(2))$
calcolo poi r=raggio della circonferenza inscritta in ABC:
$ r=l/(2+sqrt(2))$
Calcolo poi l'apotema del trapezio rettangolo avente r1 come base minore e r2 come base maggiore.l'altezza è x.L'apotema trovata è quella del tronco di piramide.
$ a=sqrt(x^2+x^2/(2+sqrt(2))^2).$
Ciò nonostante quando imposto l'equazione il problema non viene...Dove sbaglio?
Voi direte che il testo non dice se la piramide è retta però so che in un triangolo è sempre possibile inscrivere e circoscrivere una circonferenza...
Risposte
"Marco24":
Voi direte che il testo non dice se la piramide è retta
Il testo dice chiaramente che l'altezza della piramide è VA e quindi la piramide non è retta: questo è il tuo errore. Si può continuare in vari modi ma il più semplice mi sembra calcolare la superficie laterale della piramide data e poi con la similitudine quella dell'altra; la loro differenza è quella del tronco. Con questo metodo è più spontaneo assumere come incognita l'altezza della seconda piramide ma le cose cambiano poco anche assumendo quella che il testo sembra suggerire.
mmm...Ecco ho fatto la frittata...Dai che adesso calcolo tutto...Solo che quando si ragiona in tre dimensioni devo cercare di immaginarmi il disegno...
Se ben ricordo due triangoli isosceli sono simili se gli angoli al vertice sono congruenti...
E che c'entra? Una piramide ottenuta sezionandone un'altra con un piano parallelo alla base le è simile e In solidi simili il rapporto fra aree omologhe è il quadrato del rapporto di similitudine (e quello fra i volumi ne è il cubo, cosa che non riguarda il nostro problema). Ti consiglio di fare due disegni: uno che dia l'idea del solido e, badando a non cambiare le lettere, l'altro che rappresenta cosa succede nel piano di base.
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