Problemi di trigonometria
"L'area di un trapezio isoscele di base AB è 184mq, il suo 2p è di 64 m e la sua altezza è h=8. determina gli angoli del trapezio"
ho un problema con questo problema...
impostando delle equazioni con l'area e il perimetro e facendo delle sostituzioni, arrivo a scoprire che CB, il lato obliquo, è di 9 cm e HB è $sqrt(17)$ cm, ma non c'è verso che riesca a trovare gli angoli... l'angolo adiacente alla base superiore mi viene $pi/2 + arccos 8/9$, ma il libro dice $pi - arcsin 8/9$... come si fa?
ho un problema con questo problema...
impostando delle equazioni con l'area e il perimetro e facendo delle sostituzioni, arrivo a scoprire che CB, il lato obliquo, è di 9 cm e HB è $sqrt(17)$ cm, ma non c'è verso che riesca a trovare gli angoli... l'angolo adiacente alla base superiore mi viene $pi/2 + arccos 8/9$, ma il libro dice $pi - arcsin 8/9$... come si fa?
Risposte
Le due soluzioni sono equivalenti in quanto $arcsinx+arccosx = pi/2$.
edit: cancello
Ma confermate almeno le mie soluzioni? sono corrette?
Penso chue vuoi dire \(\displaystyle \frac{\pi}{2} + arccos \left( \frac{8}{9} \right) \), non è vero?
Certo che se non si scrive usando correttamente le formule... 
Cancello il mio intervento precedente
Allora, ricapitolando: $bar(AE)= sqrt(17)$ , $bar(AD)= 9$ e $bar(DE)= 8$, giusto?
Siano $alpha= hat(DAE)$ e $beta= hat(EDA)$. Si ha che $alpha+beta=pi/2$
Abbiamo $sinalpha= 8/9$ e $cosbeta=8/9$
Da questo si trovano i due angoli: $hat(DAE) = arcsin(8/9)$ e $ hat(CDA)= pi/2 + hat(EDA) = pi/2 + arccos(8/9)$
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Allora, ricapitolando: $bar(AE)= sqrt(17)$ , $bar(AD)= 9$ e $bar(DE)= 8$, giusto?
Siano $alpha= hat(DAE)$ e $beta= hat(EDA)$. Si ha che $alpha+beta=pi/2$
Abbiamo $sinalpha= 8/9$ e $cosbeta=8/9$
Da questo si trovano i due angoli: $hat(DAE) = arcsin(8/9)$ e $ hat(CDA)= pi/2 + hat(EDA) = pi/2 + arccos(8/9)$
Ho un altro grande problema.
Il triangolo ABC ha B=45° e AB = $28sqrt(2)$. La mediana AM misura 35. Calcola l'area.
Allora, ragiono sul triangolo ABM, e applico il teorema dei seni. Chiamato con con $alpha$ l'angolo BAM e con $gamma$ l'angolo BMA, ottengo che $gamma=arcsin(4/5)$, e che quindi $alpha = 82°$ circa, quindi $sin alpha = 0,99$ circa.
Torno al teorema dei seni: $bar(BM)/sinalpha = 35/sin45° -> bar(BM)=(35*0,99)/(sqrt(2)/2) = 34,65sqrt(2)$ .
A questo posso passare all'area del triangolo grande : $A=28sqrt(2) * 69,3sqrt(2) * sqrt(2)/4 = 1372°$ circa.
Ma il libro mi mette anche un'altra soluzione, che è 196. Da dove la tira fuori?
Il triangolo ABC ha B=45° e AB = $28sqrt(2)$. La mediana AM misura 35. Calcola l'area.
Allora, ragiono sul triangolo ABM, e applico il teorema dei seni. Chiamato con con $alpha$ l'angolo BAM e con $gamma$ l'angolo BMA, ottengo che $gamma=arcsin(4/5)$, e che quindi $alpha = 82°$ circa, quindi $sin alpha = 0,99$ circa.
Torno al teorema dei seni: $bar(BM)/sinalpha = 35/sin45° -> bar(BM)=(35*0,99)/(sqrt(2)/2) = 34,65sqrt(2)$ .
A questo posso passare all'area del triangolo grande : $A=28sqrt(2) * 69,3sqrt(2) * sqrt(2)/4 = 1372°$ circa.
Ma il libro mi mette anche un'altra soluzione, che è 196. Da dove la tira fuori?
Tu ottieni $sin gamma=4/5$. Non sapendo se l'angolo è acuto od ottuso, si sono due soluzioni: la tua e $gamma=180^o-arcsin(4/5)$; il 196 deriva da quest'ultima.
Non approvo l'aver subito usato la calcolatrice perché sarebbe stato meglio dire che è $cos gamma=+-3/5$; calcoli poi $sin alpha$ con le formule di somma e, procedendo col tuo ragionamento, arrivi a $A=196(4+-3)$; nella tua soluzione il "circa" è di troppo.
Non approvo l'aver subito usato la calcolatrice perché sarebbe stato meglio dire che è $cos gamma=+-3/5$; calcoli poi $sin alpha$ con le formule di somma e, procedendo col tuo ragionamento, arrivi a $A=196(4+-3)$; nella tua soluzione il "circa" è di troppo.
No non ho capito il $180 - arcsin (4/5)$!
Mi stai dicendo che siccome non so se $gamma$ sia acuto o ottuso, quando vado a calcolarmi il $singamma$ dal teorema dei seni devo fare $sin gamma=+- 4/5$ (non penso sia così perché il seno è negativo solo se l'angolo è maggiore di 180, cosa impossibile per un triangolo...).
Non riesco a capire questo punto.
Mi stai dicendo che siccome non so se $gamma$ sia acuto o ottuso, quando vado a calcolarmi il $singamma$ dal teorema dei seni devo fare $sin gamma=+- 4/5$ (non penso sia così perché il seno è negativo solo se l'angolo è maggiore di 180, cosa impossibile per un triangolo...).
Non riesco a capire questo punto.
No: per il seno hai trovato solo il più e quindi lo lasci. Ora vai sul cerchio goniometrico e lì noti che (nel primo giro) ci sono due angoli che hanno quel seno; se uno è $alpha$ l'altro è $180°-alpha$. Entrambi sono positivi e tali che sommati al 45° danno un angolo minore di 180°, quindi entrambi sono accettabili; è il loro coseno che ha il segno più o il meno.
Giusto!
Allora: $gamma = 180°- 53° = 127° -> a=8° -> sin alpha = 0,14$.
Teorema dei seni : $bar(BM)=35*0,14*2/sqrt(2)=13,9 -> A_(ABC)=194$
Grazie mille!
Allora: $gamma = 180°- 53° = 127° -> a=8° -> sin alpha = 0,14$.
Teorema dei seni : $bar(BM)=35*0,14*2/sqrt(2)=13,9 -> A_(ABC)=194$
Grazie mille!
Altro problema...
Un triangolo LMN è inscritto in una circonferenza di raggio 5. La lunghezza del lato LM è $5sqrt(3)$. Determina l0ampiezza dell'angolo MLN in modo che risulti valida la relazione:
$bar(LN)^2 - bar(MN)^2 = 25sqrt(3)$.
Allora, pongo $MLN=x$.
I limiti di variabilità, secondo me, sono $0
Passiamo alla risoluzione del problema.
Per il teorema della corda, $bar(MN)=10sinx$.
Sempre per il teorema della corda, posto $alpha=LNM$, $bar(LM)=5sqrt(3)=10sin alpha -> alpha = 60° vv 120°$.
1) Sia $alpha = 60°$:
$LMN= 180°-60°-x = 120°-x$.
Teorema dei seni: $5sqrt(3)/(60°)=(10sinx)/x = bar(LN)/(120°-x) -> bar(LN)=(5sqrt(3)(120°-x))/(60°)=10sqrt(3)-5sqrt(3)x$.
La relazione diventa: $(10sqrt(3)-5sqrt(3)x)^2 - 100 sin ^2 x = 25sqrt(3) --> 300 + 75x^2 - 300x-100sin^2 x=25sqrt(3)$.
E' giusta? possibile che debba risolvere un'equazione del genere? Dovrei utilizzare il metodo grafico, ma ci metterei veramente tre ore!
Un triangolo LMN è inscritto in una circonferenza di raggio 5. La lunghezza del lato LM è $5sqrt(3)$. Determina l0ampiezza dell'angolo MLN in modo che risulti valida la relazione:
$bar(LN)^2 - bar(MN)^2 = 25sqrt(3)$.
Allora, pongo $MLN=x$.
I limiti di variabilità, secondo me, sono $0
Passiamo alla risoluzione del problema.
Per il teorema della corda, $bar(MN)=10sinx$.
Sempre per il teorema della corda, posto $alpha=LNM$, $bar(LM)=5sqrt(3)=10sin alpha -> alpha = 60° vv 120°$.
1) Sia $alpha = 60°$:
$LMN= 180°-60°-x = 120°-x$.
Teorema dei seni: $5sqrt(3)/(60°)=(10sinx)/x = bar(LN)/(120°-x) -> bar(LN)=(5sqrt(3)(120°-x))/(60°)=10sqrt(3)-5sqrt(3)x$.
La relazione diventa: $(10sqrt(3)-5sqrt(3)x)^2 - 100 sin ^2 x = 25sqrt(3) --> 300 + 75x^2 - 300x-100sin^2 x=25sqrt(3)$.
E' giusta? possibile che debba risolvere un'equazione del genere? Dovrei utilizzare il metodo grafico, ma ci metterei veramente tre ore!
Sicuro di aver applicato correttamente il teorema dei seni? Forse il teorema si chiama così perché usa i seni degli angoli, non la loro misura.
Vedo una terribile confusione di simboli...Come prima ipotesi suppongo che N si trovi sull'arco maggiore LM. Dalla relazione del problema segue che \(\displaystyle LN>MN \) e di conseguenza il vertice N può variare solo sull'arco EM ,dove E è il punto medio dell'arco (maggiore) LM.Pertanto risulta \(\displaystyle 0°
\(\displaystyle LN=10\sin(60°+x),MN=10\sin x \)
In tal modo,con qualche semplificazione , la relazione diventa :
\(\displaystyle \sin^2(60°+x)-\sin^2x=\frac{\sqrt3}{4} \)
Oppure:
\(\displaystyle [\sin(60+x)-\sin x][\sin(60°+x)+\sin x]=\frac{\sqrt 3}{4} \)
E applicando le prostaferesi :
\(\displaystyle \cos(x+30°)\sin(x+30°)=\frac{1}{4} \)
Ovvero :
\(\displaystyle \sin(2x+60°)=\frac{1}{2} \)
Pertanto deve essere :
\(\displaystyle 2x+60°=30° \) che non dà soluzioni accettabili
oppure:
\(\displaystyle 2x+60°=150° \) che dà la soluzione accettabile \(\displaystyle x=45°=\frac{\pi}{4} \)
Se si suppone N posto " sotto " la corda LM , cioé sull'arco minore LM,allora si trova \(\displaystyle x=15°=\frac{\pi}{12} \)
In questo caso puoi fare tu i calcoli in analogia con quelli precedenti...
Oddio è vero @melia! Ho il cervello completamente fuso...
Comunque grazie ad entrambi, adesso ricontrollo il problema.
Posso chiedervi come fate per postare le figure dei problemi?
Comunque grazie ad entrambi, adesso ricontrollo il problema.
Posso chiedervi come fate per postare le figure dei problemi?
Ho un dubbio su una cosa: risolvendo la risolvente in seno e coseno, e quindi in tangente, mi escono due soluzioni: 45° e -15°! Che ci faccio con quel meno?
Nuovo problema:
In un settore circolare AOB di raggio r e di ampiezza uguale a 90° traccia un raggio OP. Considera la proiezione ortogonale D di P sul raggio B e il punto medio C del raggio OA. Determina l'angolo AOP sapendo che $PC^2+PD^2=11/10r^2$.
Allora, andando direttamente alla soluzione del problema:
$PD=POcosx= rcosx$
Per Carnot $PC=rsqrt(5/4-cosx)$
La relazione diventa: $5/4r^2 = 11/10 r^2$, chiaramente impossibile...cos'ho sbagliato?:(
In un settore circolare AOB di raggio r e di ampiezza uguale a 90° traccia un raggio OP. Considera la proiezione ortogonale D di P sul raggio B e il punto medio C del raggio OA. Determina l'angolo AOP sapendo che $PC^2+PD^2=11/10r^2$.
Allora, andando direttamente alla soluzione del problema:
$PD=POcosx= rcosx$
Per Carnot $PC=rsqrt(5/4-cosx)$
La relazione diventa: $5/4r^2 = 11/10 r^2$, chiaramente impossibile...cos'ho sbagliato?:(
Hai dimenticato un quadrato: la relazione è $r^2(5/4-cos x)+r^2cos^2 x=11/10 r^2$. Però, salvo miei errori, le sue soluzioni sono entrambe non accettabili: una perché maggiore di uno e l'altra perché negativa e quindi corrispondente ad un angolo ottuso.
Da
$r^2(5/4-cosx)+r^2cos^2x=11/10 r^2$
mi sembra che risulti
$cos^2x-cosx+3/20=0$
con
$0<=x<=pi/2$
e quindi
$0<=cosx<=1$.
L'equazione ha soluzioni
$cosx_(1, 2)=1/2+-sqrt(10)/10->cosx_1~=0.1838, cosx_2 ~= 0.8162$.
Ambedue sono comprese tra $0$ e $1$ e quindi sono accettabili.
$r^2(5/4-cosx)+r^2cos^2x=11/10 r^2$
mi sembra che risulti
$cos^2x-cosx+3/20=0$
con
$0<=x<=pi/2$
e quindi
$0<=cosx<=1$.
L'equazione ha soluzioni
$cosx_(1, 2)=1/2+-sqrt(10)/10->cosx_1~=0.1838, cosx_2 ~= 0.8162$.
Ambedue sono comprese tra $0$ e $1$ e quindi sono accettabili.
Ho capito, grazie mille!!!
Grazie, chiaraotta: ho fatto un errore di distrazione nel dare denominatore comune.
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