Problemi di teoria dei numeri

[anto_zoolander]

We
ho quattro problemi da verificare e poi penso che diventerò assente per pausa maturità
In modo particolare chiederei un occhio più critico sull'ultimo.

consideriamo tutte le coppie $(x,y)$ di interi tali che

$22x+17y=3$

Il minimo valore che può essere assunto da $|x+y|$ è?

allora..

Io ho cominciato risolvendo l'equazione Diofantea.

$MCD(22,17)=1$

${(22=17*1+5),(17=5*3+2),(5=2*2+1),(2=1*2+0):}$ e ${(r_3=1=5(1)+2(-2)),(r_2=2=17(1)+5(-3)),(r_1=5=22+17(-1)):}$

Ora mi riporto a una identità di Bezout

$1=5(1)+17(-2)+5(6)=5(7)+17(-2)$

$1=22(7)+17(-7)+17(-2)=22(7)+17(-9)$

$3=22(21)+17(-27)$ ovvero $(21,-27)$ è una soluzione.

risolvo $22x+17y=0 => y=-(22x)/17$

ovvero $x=17k <=> y=-22k$ che mi da le soluzioni generali $(21+17k,-27-22k), forallkinZZ$

ora considero $|21+17k+(-27-22k)|<=>|-6-5k| <=> |5k+6|$

considero la funzione $f(k)=|5k+6|$ e $f'(k)=sgn(5k+6)*5$

abbiamo che:

${(f'(k)>0,k> -6/5),(f'(k)<0,k<-6/5),(f'(k)=0,k=-6/5):}$ dunque considerando che $-6/5approx-1,2$

il primo intero vicino è $-1$

Dunque $f(-1)=|5(-1)+6|=1$

dunque mi risulta che il minimo di $|x+y|$ è $1$

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dividendo $2003^2003$ per $17$ quale resto si ottiene?

devo dunque determinare quanto vale $2003^2003(mod17)$

intanto determino $2003(mod17)$ ovvero $2003equiv14(mod17)$

$2003^2003equiv14^2003(mod17)$

$14^(1989+14)=14^(17(117))*14^4equiv14^117*14^14(mod17)$

$14^131=14^(17(7)+12)=14^(17(7))*14^12equiv14^7*14^12(mod17)$

$14^19=14^17*14^2equiv14^3(mod17)$

ora $14^3=2744=2737+7=17(161)+7$ ovvero $14^3equiv7(mod17)$

tornando indietro si ha dunque $2003^2003equiv7(mod17)$

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Determinare quanto vale il resto della divisione per $5$ del numero:

$1^5+2^5+3^5+...+2003^5$

Intanto parto notando che parliamo di $sum_{k=1}^{2003}k^5$

In particolare $5$ è primo, dunque per il Teorema di Fermat

$sum_{k=1}^{2003}k^5equivsum_{k=1}^{2003}k(mod 5)$

Naturalmente considero tutta la sommatoria per le proprietà delle congruenze

$sum_{k=1}^{2003}k=(2003(2004))/2=2003(1002)$

in particolare il prodotto da un numero che termina con $6$

$2003(1002)equiv6(mod 5)$ per concludere:

essendo in $ZZ_5$ si ha che $[6]_5=[1]_5$ dunque $sum_{k=1}^{2003}k^5equiv1(mod 5)$

---------------------- e infine --------------------------

Dividendo $1^3*2^3*3^3*...*16^3$ per $19$ si ottiene come resto?

Stavolta si parla di $(1*2*3*...*16)^3=16!^3(mod 19)$

allora quì non so benissimo come approcciare, cerco di ragionarci così:

siamo in $ZZ_19$ dunque cerco una classe $[a]_19=[16!]_19$

ho preso tutta l'estensione $1*2*...*16$ facevo mano a mano i prodotti e trovavo le classi
alla fine ho trovato che:

$a=9$ ovvero $16!equiv9(mod19)$

$16!^3equiv9^3(mod19)$ ora devo calcolare $9^3(mod19)$

con lo stesso ragionamento di prima $9*9=81=19(4)+5=[5]_19$

$9*5=45=19(2)+7=[7]_19$ e.. $9^3equiv7(mod19)$

quindi alla fine si ha che $16!^3equiv7(mod19)$

tra le altre cose essendo $(mod 19)$ i calcoli a mente sono particolarmente facili, idem per il calcolo delle varie classi, che alla fine si riduceva sempre a numeri facilmente accessibili

ci siamo?

[G.D.5]

Adesso sono di fretta e ho controllato solo il primo.
Mi torna tutto anche se, secondo me, non era necessario fare ricorso alle derivate.

[anto_zoolander]

Grazie G.D
mi è balzato questo metodo alla mente e mi sono sentito illuminato ahhahahah

[G.D.5]

Mi tornano anche gli altri.

[anto_zoolander]

Ahahahaha per quanto riguarda l'ultimo, è il procedimento ottimale, o c'è un metodo più corto?

[G.D.5]

La chiave dell'ultimo è il trovare una congruenza per \( 16! \).
Tu l'hai trovata nello stesso modo in cui hai trovato una congruenza per \( 9^{3} \).
Volendo essere più rapidi si potrebbe usare il Teorema di Wilson.