Problemi di massimo e minimo assoluti
Tra tutti i trapezi isosceli circoscritti a un cerchio di raggio r trovare quello di area minima.
Suggerimento:$A=2r(x+y)$poichè $xy=r^2$ si ha il minimo quando...
E mi da anche il disegno:
Uploaded with ImageShack.us
Purtroppo oltre ad aver scritto i dati non sono più andato avanti...Come posso procedere?Il suggerimento non l'ho capito...
Grazie,PS se poteste aiutarmi entro oggi,mi fareste un grandissimo favore,perchè ho paura che domani la professoressa inizia ad interrogare...grazie
Suggerimento:$A=2r(x+y)$poichè $xy=r^2$ si ha il minimo quando...
E mi da anche il disegno:
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Purtroppo oltre ad aver scritto i dati non sono più andato avanti...Come posso procedere?Il suggerimento non l'ho capito...
Grazie,PS se poteste aiutarmi entro oggi,mi fareste un grandissimo favore,perchè ho paura che domani la professoressa inizia ad interrogare...grazie
Risposte
In pratica, non hai capito perchè $xy=r$, giusto?
Dal punto $C$ traccia l'altezza, che toccherà la base $AB$ nel punto $E$
Ora, $CE=2r$ (banalmente) e inoltre $BE=y-x$
Applica ora il teorema di Pitagora relativamente al triangolo rettangolo $BEC$
Otterrai proprio quella formula
Dal punto $C$ traccia l'altezza, che toccherà la base $AB$ nel punto $E$
Ora, $CE=2r$ (banalmente) e inoltre $BE=y-x$
Applica ora il teorema di Pitagora relativamente al triangolo rettangolo $BEC$
Otterrai proprio quella formula
"Gi8":
In pratica, non hai capito perchè $xy=r$, giusto?
Dal punto $C$ traccia l'altezza, che toccherà la base $AB$ nel punto $E$
Ora, $CE=2r$ (banalmente) e inoltre $BE=y-x$
Applica ora il teorema di Pitagora relativamente al triangolo rettangolo $BEC$
Otterrai proprio quella formula
Ma è $xy=r^2$ e non $xy=r$
Comunque ci ho provato
$CB=sqrt(4r^2+x^2+y^2-2xy)$
Mi risulta cosi...
Sì, ma $CB= x+y$, come puoi vedere dal disegno.
Dunque $(x+y)^2=4r^2+x^2+y^2-2xy$...
(volevo scrivertelo anche prima, ma poi mi sono detto "ma no, ci arriverà sicuramente da solo" )
Dunque $(x+y)^2=4r^2+x^2+y^2-2xy$...
(volevo scrivertelo anche prima, ma poi mi sono detto "ma no, ci arriverà sicuramente da solo" )
"Gi8":
Sì, ma $CB= x+y$, come puoi vedere dal disegno.
Dunque $(x+y)^2=4r^2+x^2+y^2-2xy$...
(volevo scrivertelo anche prima, ma poi mi sono detto "ma no, ci arriverà sicuramente da solo" )
Ah si scusami,hai ragione...comunque ok mi è risultato $xy=r^2$...
Ma ora cosa devo fare?
L'incentro di un poligono circoscrittibile è l'intersezione delle bisettrici dei suoi angoli.
Esaminando la figura si vede allora che CO e BO sono bisettrici degli angoli del trapezio in C ed in B.
Ma questi due angoli sono supplementari ( perché coniugati interni ) e quindi la somma delle loro metà
è 90°.Conseguentemente il triangolo BOC è rettangolo in O e per il 2° Teorema di Euclide hai:
\(\displaystyle xy=r^2 \)
A questo punto l'area S del trapezio è:
\(\displaystyle S_{ABCD}=\frac{(2x+2y)(2r)}{2} =2r(x+y)\)
Il minimo di A lo puoi avere senza ricorrere alle derivate.Basta che osservi che è:
\(\displaystyle (x+y)^2=(x-y)^2+4xy=(x-y)^2+4r^2 \)
E poiché \(\displaystyle 4r^2=costante \),è evidente che il minimo di \(\displaystyle (x+y)^2 \) ,e quindi di \(\displaystyle x+y \), lo ottieni quando è \(\displaystyle x-y=0 \) da cui \(\displaystyle x=y \).Ovvero l'area minima si ottiene quando il trapezio diventa un quadrato.
Il minimo di A lo puoi avere senza ricorrere alle derivate.Basta che osservi che è:
(x+y)2=(x−y)2+4xy=(x−y)2+4r2
E poiché 4r2=costante,è evidente che il minimo di (x+y)2 ,e quindi di x+y, lo ottieni quando è x−y=0 da cui x=y.Ovvero l'area minima si ottiene quando il trapezio diventa un quadrato.
MI dispiace,ma non ho capito la risoluzione finale
In effetti il fatto che $xy=r^2$ serve a poco.
Provo a spiegarti meglio quello che ha scritto vittorino70:
Abbiamo dimostrato che $(x+y)^2=4r^2+(y-x)^2$. Dunque vale $x+y= sqrt(4r^2+(y-x)^2)$
La formula dell'area diventa $A= 2r* sqrt(4r^2+(y-x)^2)$
Ora ti chiedo: riesci a capire in quale caso abbiamo l'area minima ?
tieni presente che $r$ è una costante fissata (cioè puoi lavorare solo su $x$ e $y$)
Provo a spiegarti meglio quello che ha scritto vittorino70:
Abbiamo dimostrato che $(x+y)^2=4r^2+(y-x)^2$. Dunque vale $x+y= sqrt(4r^2+(y-x)^2)$
La formula dell'area diventa $A= 2r* sqrt(4r^2+(y-x)^2)$
Ora ti chiedo: riesci a capire in quale caso abbiamo l'area minima ?
tieni presente che $r$ è una costante fissata (cioè puoi lavorare solo su $x$ e $y$)
Io so che l'area minima e quando abbiamo il valore minimo della derivata dell'area... Ma non riesco a capire qui cosa devo fare :\
"shintek20":Non l'ho capita
Io so che l'area minima e quando abbiamo il valore minimo della derivata dell'area...
"Gi8":L'unico pezzo che possiamo manipolare è $(x-y)^2$
La formula dell'area diventa $A= 2r* sqrt(4r^2+(y-x)^2)$
Poiché vogliamo il minimo (e dato che $(y-x)^2>=0$) , dobbiamo imporre $y-x=0$
"Gi8":Non l'ho capita
[quote="shintek20"]Io so che l'area minima e quando abbiamo il valore minimo della derivata dell'area...
"Gi8":L'unico pezzo che possiamo manipolare è $(x-y)^2$
La formula dell'area diventa $A= 2r* sqrt(4r^2+(y-x)^2)$
Poiché vogliamo il minimo (e dato che $(y-x)^2>=0$) , dobbiamo imporre $y-x=0$[/quote]
Perché $(x-y)^2$ e non $(y-x)^2$?
Mi dispiace,ma continuo a non capire
,la disequazione non è verificata per ogni x?
"shintek20":E' la stessa cosa: le due quantità sono uguali
Perché $(x-y)^2$ e non $(y-x)^2$?
"shintek20":Sì, certamente. Ma noi vogliamo trovare il miimo.
la disequazione non è verificata per ogni x?
Rispondi a questa: per quale valore di $z$ in $A= 2r*sqrt(4r^2 +z^2)$ hai l'area minima?
Per $z^2$=0?
Esatto. Stessa cosa qui: abbiamo $A= 2r*sqrt(4r^2+(y-x)^2)$
L'area minima c'è per $(y-x)^2=0$, ovvero per $y-x=0$
L'area minima c'è per $(y-x)^2=0$, ovvero per $y-x=0$
Ok grazie mille!Capito!Avrei un ultimissimo dubbio:
Perché $HC=CK$ e $KB=TB$?
Perché $HC=CK$ e $KB=TB$?
E' il teorema delle tangenti.
$C$ è un punto esterno alla circonferenza, ne tracciamo le due tangenti che la intersaceno in $H$ e $K$
$C$ è un punto esterno alla circonferenza, ne tracciamo le due tangenti che la intersaceno in $H$ e $K$
Ok grazie mille!
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