PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO

[DAVIDE91]

ciao a tutti. Come risolvo questo problema di massimo e minimo?
Determinare un punto sull'asse delle ascisse per il quale è minima la somma del quadrato della sua distanza dalla retta y=x + 1 con il quadrato della sua distanza dalla retta x=4.
Grazie

[ciampax]

Allora, un punto generico sull'asse delle ascisse ha coordinate

[math]P(x,0)[/math]

. Ora, la distanza di tale punto dalle rette date, che puoi scrivere nella forma

[math]x-y+1=0,\qquad x-4=0[/math]

è data dalla formula seguente: se

[math]ax+by+c=0[/math]

è la retta e

[math]A(x_0,y_0)[/math]

il punto

[math]d=\frac{|a x_0+b y_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/math]

e quindi

[math]d_1(x)=\frac{|x+1|}{\sqrt{2}},\qquad d_2(x)=|x-4|[/math]

La funzione da minimizzare è pertanto

[math]f(x)=[d_1(x)]^2+[d_2(x)]^2=\frac{(x+1)^2}{2}+(x-4)^2[/math]

La sua derivata è

[math]f'(x)=x+1+2(x-4)=3x-7[/math]

e si annulla nel punto

[math]x=7/3[/math]

che risulta il minimo. Quindi questa è la coordinata del punto cercato.