Problemi di massimo e minimo
Salve a tutti, ho questi due problemi da risolvere:
Data una semicirconferenza di diametro AB uguale 2r a partire da B considera nell'ordine i punti C e D della semicirconferenza tali che DOC = 2 COB . Determina questi due punti in modo che la somma delle basi del trapezio HCDK sia massima, essendo H e K le proiezioni di C e D su AB.
Ho impostato per questo primo problema COB = x ed ho trovato che CH è uguale a rsenx e DK a rsen(3x) . I risultati sono corretti? Se sì, ho qualche difficoltà a risolvere la disequazione che ottengo dalla derivata per quel 3x. Mi date una mano?
Questo invece è il secondo :
Due punti C e P sono presi su una semicirconferenza di diametro AB = 2r , in modo tale che, detto alfa l'angolo CAP , sia cos di alfa uguale a 24/25. Determina la posizione di P per cui è massima l'area di ABPC.
In questo caso la funzione che ottengo è sen(2x) + sen (2x) * ( 24cosx/25 - 7senx /25) . Anche qui ho delle difficoltà a risolvere la disequazione della derivata...
Grazie a tutti in anticipo
Data una semicirconferenza di diametro AB uguale 2r a partire da B considera nell'ordine i punti C e D della semicirconferenza tali che DOC = 2 COB . Determina questi due punti in modo che la somma delle basi del trapezio HCDK sia massima, essendo H e K le proiezioni di C e D su AB.
Ho impostato per questo primo problema COB = x ed ho trovato che CH è uguale a rsenx e DK a rsen(3x) . I risultati sono corretti? Se sì, ho qualche difficoltà a risolvere la disequazione che ottengo dalla derivata per quel 3x. Mi date una mano?
Questo invece è il secondo :
Due punti C e P sono presi su una semicirconferenza di diametro AB = 2r , in modo tale che, detto alfa l'angolo CAP , sia cos di alfa uguale a 24/25. Determina la posizione di P per cui è massima l'area di ABPC.
In questo caso la funzione che ottengo è sen(2x) + sen (2x) * ( 24cosx/25 - 7senx /25) . Anche qui ho delle difficoltà a risolvere la disequazione della derivata...
Grazie a tutti in anticipo
Risposte
La somma delle basi del trapezio è $r(sinx+sin3x)$
La derivata prima è $r(cosx+3cos(3x))$ che va uguagliata a zero:
$3cos3x+cosx=0$
$3cos(2x+x)+cosx=0$
$3(cos2xcosx-sin2xsinx)+cosx=0$
$3co2xcosx+cosx=3sin2xsinx$
$cosx(3cos2x+1)=6cosxsin^2x$
Prima soluzione: $cosx=0, x=pi/2$
Seconda soluzione:
$3cos2x+1=6sin^2x$
$3cos^2x-3sin^2x+1=6sin^2x$
$4=12sin^2x$
$3sin^2x=1$
$sin^2x=1/3$
$sinx=sqrt(3)/3, x=arcsin(sqrt(3)/3)$
Per vedere se sono punti di massimo o minimo o di flesso, usa il teorema delle derivate successive, senza risolvere alcuna disequazione.
La derivata prima è $r(cosx+3cos(3x))$ che va uguagliata a zero:
$3cos3x+cosx=0$
$3cos(2x+x)+cosx=0$
$3(cos2xcosx-sin2xsinx)+cosx=0$
$3co2xcosx+cosx=3sin2xsinx$
$cosx(3cos2x+1)=6cosxsin^2x$
Prima soluzione: $cosx=0, x=pi/2$
Seconda soluzione:
$3cos2x+1=6sin^2x$
$3cos^2x-3sin^2x+1=6sin^2x$
$4=12sin^2x$
$3sin^2x=1$
$sin^2x=1/3$
$sinx=sqrt(3)/3, x=arcsin(sqrt(3)/3)$
Per vedere se sono punti di massimo o minimo o di flesso, usa il teorema delle derivate successive, senza risolvere alcuna disequazione.
Primo esercizio
se non erro, non riesco purtroppo a mettere una figura, si ha
$HC=r sin beta$ e
$KD=r sin (pi - 3 beta)= r sin (3 beta)$
e deve essere massima la somma $HC+KD$
$r$ lo conosciamo, $beta$ no e se vuoi lo chiamiamo $x$
$f(x)= r (sin x + sin (3 x))$
deriviamo
$f'(x) = r (cos x + 3 cos (3x))$
ora sfrutti la ben poco nota formula di triplicazione $cos (3x)= 4 cos^3(x)-3 cos x$ che se vuoi puoi "agilmente" ricavarti dal fatto che $cos (3x) = cos (x + 2x)=...$ con un po' di passaggi...
$f'(x) = 4r (3cos^3(x)-2cosx)= 4r cosx (3cos^2(x)-2)$
che ti porta alle tre soluzioni
$cosx= 0$ cioè $x=pi/2$
$cosx=sqrt(2/3)$ cioè $x=35.26$ gradi circa
$cosx=-sqrt(2/3)$ cioè $x=144.73$ gradi circa
la terza la scarto perchè il suo doppio esce dalla semicirconferenza
ti risulta finora? spero come al solito di non aver fatto errori... ora basta trovare quale di queste due soluzioni è un massimo per $f(x)$... a me piace fare la derivata seconda
$f''(x)= 4 r sinx(2-9cos^2(x))$
e abbiamo
$f''(x_1)=8r>0$ quindi è un minimo
$f''(x_2)<0$ quindi è un massimo
può essere così?? il massimo si ha per
$cos beta = + sqrt (2/3)$
se non erro, non riesco purtroppo a mettere una figura, si ha
$HC=r sin beta$ e
$KD=r sin (pi - 3 beta)= r sin (3 beta)$
e deve essere massima la somma $HC+KD$
$r$ lo conosciamo, $beta$ no e se vuoi lo chiamiamo $x$
$f(x)= r (sin x + sin (3 x))$
deriviamo
$f'(x) = r (cos x + 3 cos (3x))$
ora sfrutti la ben poco nota formula di triplicazione $cos (3x)= 4 cos^3(x)-3 cos x$ che se vuoi puoi "agilmente" ricavarti dal fatto che $cos (3x) = cos (x + 2x)=...$ con un po' di passaggi...
$f'(x) = 4r (3cos^3(x)-2cosx)= 4r cosx (3cos^2(x)-2)$
che ti porta alle tre soluzioni
$cosx= 0$ cioè $x=pi/2$
$cosx=sqrt(2/3)$ cioè $x=35.26$ gradi circa
$cosx=-sqrt(2/3)$ cioè $x=144.73$ gradi circa
la terza la scarto perchè il suo doppio esce dalla semicirconferenza
ti risulta finora? spero come al solito di non aver fatto errori... ora basta trovare quale di queste due soluzioni è un massimo per $f(x)$... a me piace fare la derivata seconda
$f''(x)= 4 r sinx(2-9cos^2(x))$
e abbiamo
$f''(x_1)=8r>0$ quindi è un minimo
$f''(x_2)<0$ quindi è un massimo
può essere così?? il massimo si ha per
$cos beta = + sqrt (2/3)$
appena postato ho visto che Vulplaisir aveva appena risposto... i risultati coincidono nonostante li abbiamo espressi come arcoseno lui e arcocoseno io... ciao!!
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