Problemi di massimo e di minimo sui triangoli.

[superlol]

Ciao, potreste aiutarmi con questi problemi?

1)Fra tutti i triangoli aventi costante la base a e l'area S, qual'è quello in cui è massimo o minimo il rapporto fra gli altri due lati?

2)In un assegnato triangolo equilatero inscrivere un triangolo equilatero, con i vertici sui lati del triangolo dato, di area minima.
(soluzione: è quello che si ottiene congiungend i punti medi dei lati del triangolo dato)

3)Di tutti i triangoli aventi costante la somma di due lati x, y e l'angolo compreso α, qual è quello di area massima?
(soluzione: l' Isosele)

[BIT5]

Chiamiamo b la base AB (costante).

L'altezza CH di questo triangolo sara'

[math] h= \frac{2S}{b} [/math]

che essendo rapporto tra costanti sara' anch'essa costante

chiamiamo ora x il segmento AH. Dunque HB sara' b-x

i due lati, ipotenuse dei due triangoli rettangoli AHC e BHC saranno

[math] \bar{AC} = \sqrt{x^2+ h^2} [/math]

e

[math] \bar{BC} = \sqrt{(b-x)^2 + h^2} = \sqrt{b^2-2bx+x^2+ h^2} [/math]

la funzione rapporto sara'

[math] R(x)= \frac{ \sqrt{x^2+ h^2}}{\sqrt{b^2-2bx+x^2+ h^2}} = \sqrt{ \frac{x^2+ h^2}{x^2-2bx+ (b^2+h^2)}} [/math]

ho scritto b^2+h^2 tra parentesi solo per evidenziare il fatto che e' una somma di valori che devi trattare come noti.

Deriviamo..

R(x) e' una funzione composta (radice di frazione) pertanto la derivata sara' 1/2radiceR(x) per derivata della frazione, quindi

[math] R'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x^2+ h^2}{x^2-2bx+ (b^2+h^2)}}} \cdot \frac{2x(x^2-2bx+b^2+h^2) - ((2x-2b) ( x^2+h^2)}{(x^2-2bx+b^2+h^2)^2} [/math]

senza perderci in mille calcoli, analizziamo dapprima il denominatore...

abbiamo 2 (positivo) per una radice (positiva o al piu' nulla (ma mai, perche' sappiamo essere il rapporto tra due lunghezze geometriche)).

L'altro denominatore e' un quadrato, quindi positivo o al piu' nullo (anche questo mai, perche' il denominatore era la lunghezza di uno dei due lati)

il segno della derivata e' determinato, dunque, solo dal numeratore.

Eseguiamo qualche conto al numeratore

moltiplichiamo

[math] 2x^3-4bx^2+2xb^2+2xh^2-(2x^3+2xh^2-2bx^2-2bh^2) = \\ \\ \\ = 2x^3-4bx^2+2xb^2+2xh^2-2x^3-2xh^2+2bx^2+2bh^2 [/math]

quindi

[math] -2bx^2+2xb^2+2bh^2 [/math]

che e' il numeratore della derivata, unica parte utile alla determinazione del segno e dell'annullamento della derivata.

vediamo dunque, visto che il denominatore e' sempre positivo, quando il numeratore e' positivo

[math] 2b(-x^2+xb+h^2)>0 [/math]

2b e' sempre positivo ( b e' la base, ovvero una lunghezza geometrica)

[math] -x^2+xb+h^2>0 \to x^2-xb-h^2

[magox]

Non pare che il massimo ed il minimo si realizzino con triangoli rettangoli.In realtà il vertice C si può muovere sull'intera retta parallela alla retta della base AB e distante da questa di h=2S/b.Pertanto il massimo si ha quando è :

[math]AH=x=\frac{b+\sqrt{b^2+4h^2}}{2}[/math]

con H a destra di A
mentre il minimo si ha per :

[math]AH=x=\frac{-b+\sqrt{b^2+4h^2}}{2}[/math]

con H a sinistra di A
Ho verificato la risposta anche con Geogebra ,facendo qualche caso particolare.Per esempio b=8,h=6

Aggiunto 38 minuti più tardi:

Problema due .
Sia ABC ,con AB=l,il triangolo equilatero dato ed MNP quello inscritto pur'esso equilatero(con M su AB,N su BC e P su CA).E' facile stabilire che i triangoli AMP,MBN ed NCP sono congruenti .Detta allora S l'area di ABC e T quella dei tre triangoli congruenti,l'area X del triangolo inscritto MNP sarà data da :
X=S-3T
Siccome S è costante, il minimo di X si avrà quando è massima la T.
Ma,posto AM=x con 0

[BIT5]

hai perfettamente ragione magox, perso in tutti quei calcoli alla fine non ho considerato che il punto H non sta sulla base AB bensi' sulla retta di cui il segmento AB fa parte.

Pertanto le conclusioni corrette sono le tue, dal momento che x non ha limitazioni

[webb97]

sì vero... magox ha risolto correttamente