Problemi di geometria solida (220180)

[fenice98]

ciao a tutti , ho problema nel risolvere quesi due problemi. a) In un tronco di piramide retta a basi quadrate i lati stanno fra loro come 5:14 e la somma dei perimetri delle basi è 152cm.Trovare l'area totale sapendo che l'altezza del tronco è lunga 1,2cm. b)Un tronco di cono, avente il raggio della base minore di 9dm, è circoscritto ad una sfera di 12dm di raggio. Calcolare l'area laterale e il volume del tronco di cono.

[nRT]

Ciao,
cominciamo dal primo.

Sei sicura che i dati del primo problema siano corretti?
I risultati sono un po' strani. Ho sostituito l'altezza di 1,2 cm a quella di 12 cm perché mi tornava un risultato meno insolito. Infatti è strano che i problemi di questo tipo abbiano risultati complessi. Il procedimento comunque è lo stesso.
Se mi sbaglio sulla correzione correggimi pure. :)
Comunque sia, si può risolvere così (tutte le lunghezze sono espresse in centimetri):

[math]
l:L = 5:14 \\
l = \frac{5}{14}L \\
4L + 4l = 152 \\
4L + \frac{4 \cdot 5}{14} L = 152 \\
28L + 10L = 152 \cdot 7 \\
L = \frac{152 \cdot 7}{38} \\
L = 4 \cdot 7 = 28 \\
l = \frac{5}{14}L \\
l = \frac{5 \cdot 28}{14} = 10 \\
a = \sqrt{ \left( \frac{L}{2} - \frac{l}{2} \right)^2 + h^2 } \\
a = \sqrt{ ( 14 - 5)^2 + 12^2 } \\
a = \sqrt{81 + 144}= 15 \\
S_l = \frac{(P_B + P_b) \cdot a}{2} \\
S_l = \frac{152 \cdot 15}{2} = 1\ 140\\
S_B = L^2 \\
S_B = 28^2 = 784 \\
S_b = 10^2 = 100 \\
S_t = S_B + S_b + S_l \\
S_t = 784 + 100 + 1\ 140 = 2\ 024 \\
[/math]

Spero ti sia stato d'aiuto. Se hai qualche domanda chiedi pure :)

Aggiunto 35 minuti più tardi:

Secondo problema: tronco di cono circoscritto ad una sfera.
Se provi a fare il disegno ti accorgerai che avrai a che fare con un trapezio circoscritto a una circonferenza. Poi fai ruotare il tutto attorno al diametro della circonferenza perpendicolare alle basi ed ottieni il tronco di cono circoscritto ad una sfera.
Possiamo risolverlo così (tutte le lunghezze sono espresse in decimetri).
Il problema è trovare l'apotema.
Disegniamo allora il trapezio

[math]ABCD[/math]

con base maggiore

[math]AB[/math]

e base minore

[math]CD[/math]

.
Il lato obliquo

[math]BC[/math]

sarà il nostro apotema.
Inscrivendo la circonferenza di centro

[math]O[/math]

, disegniamo i raggi perpendicolari alle basi e il raggio perpendicolare a

[math]BC[/math]

.
Per capirci, chiamiamo:
-

[math]E[/math]

il punto d'incontro del raggio perpendicolare ad

[math]AB[/math]

con

[math]AB[/math]

;
-

[math]F[/math]

il punto d'incontro del raggio perpendicolare a

[math]BC[/math]

con

[math]BC[/math]

;
-

[math]G[/math]

il punto d'incontro del raggio perpendicolare a

[math]CD[/math]

con

[math]CD[/math]

.

Notiamo che i triangoli

[math]COG[/math]

e

[math]CFO[/math]

sono congruenti. Da ciò deduciamo che:

[math]
CF \cong CG \\
\overline{CF} = 9 \\
[/math]

I triangoli

[math]BEO[/math]

e

[math]BFO[/math]

sono congruenti. Da ciò deduciamo che:

[math]
BE \cong BF \\
\overline{BE}=\overline{BF} = x \\
[/math]

Il teorema di Pitagora ora ci permette di trovare

[math]x[/math]

(considera il triangolo rettangolo con ipotenusa

[math]BC[/math]

):

[math]
(9+x)^2 = 4r^2 + (x-9)^2 \\
(9+x)^2 = 4 \cdot 12^2 + (x-9)^2 \\
[/math]

Due conticini e trovi che:

[math]x = 16[/math]

L'apotema sarà quindi:

[math]
a= \overline{CG} + \overline{BE} \\
a = 9 + 16 = 25 \\
[/math]

Ci troviamo quindi con:

[math]
r_b = 9 \\
r_s = 12 \\
r_B = 16 \\
h = 2r = 24 \\

S_l= \pi (r_b + r_B) \cdot a \\
S_l = \pi (9 + 16) \cdot 25 =625 \\
V = \frac{1}{3} \pi (r_B^2 + r_Br_b + r_b^2) \cdot h \\
V = \frac{1}{3} \pi (16^2 + 16 \cdot 9 + 9^2) \cdot 24 \\
[/math]

Facendo un po' di conticini si ottiene:

[math]V = 3\ 848 \pi \\[/math]

Spero ti sia stato d'aiuto. Se hai qualche dubbio o domanda chiedi pure.
Ciao :)

[fenice98]

Grazie sei stato di grande AIUTO.
Ciao