Problemi di geometria con equazioni di secondo grado "Urgente"

[sarafoglia2701]

Avrei bisogno di aiuto con questo problema per favore. Un triangolo rettangolo,in cui un cateto è 2/3 dell'altro, è equivalente alla differenza tra il quadrato dell'ipotenusa e il rettangolo avente una dimensione di 20 cm e l'altra doppia del cateto maggiore del triangolo. Determina i cateti.
Risposta(24 cm,36 cm)

[Alicegi]

Allora per il triangolo rettangolo chiamiamo a il cateto minore, b il cateto maggiore e c l'ipotenusa. Poi consideriamo un rettangolo con un lato di 20 cm e l'altro che è 2b. per impostare l'equivalenza dobbiamo imporre che l'area del triangolo sia uguale al quadrato dell'ipotenusa meno l'area del rettangolo

[math]a=2/3b\\
A(triangolo)=(a*b)/2=(b^2)/3\\
A(rettangolo)=20*2b=40b\\[/math]

quindi per l'equivalenza

[math](b^2)/3=c^2-40b\\[/math]

sappiamo per il teorema di Pitagora che

[math]c^2=a^2+b^2[/math]

quindi sostituiamo

[math](b^2)/3=a^2+b^2-40b\\
(b^2)/3=(4/9)b^2+b^2-40b\\
(b^2)/3=13/9b^2-40b\\
10/9b^2-40b=0\\
2b(5/9b-20)=0\\
b=20*9/5=36\\
a=2/3b=24[/math]

[sarafoglia2701]

Alicegi grazie mille per l'aiuto.