Problemi di geometria
Ciao a tutti...
Pur avendoci provato almeno 200 volte, non riesco a risolvere questi due problemi:
1- "In una circonferenza di diametro AC=2r, conduci la corda AB congruente al lato del triangolo equilatero inscritto e, da parte opposta di AB rispetto ad AC, una corda AD; sia AH l'altezza del triangolo ABD. Determina la misura della corda AD in modo che sia verificata la relazione:
$ AB^2 + 2AD^2- 3AH^2 = 66/25 r^2 $
(ris. AD= 6/5 r
Dunque, in questo non ho capito nemmeno come fare il disegno, perchè parla di un triangolo equilatero che salta fuori dal nulla e non capisco cosa devo fare... Inoltre per me (nel disegno che ho fatto) AD e AB sono uguali? A voi non risulta così???
2-"Due circonferenze sono tangenti internamente nel punto A e hanno i diametri AC e AB che misurano rispettivamente 2r e 4r. Traccia per A una retta che incontra ulteriormente in M e in N le circonferenze di diametri AC e AB in modo che la misura dell'area del quadrilatero MCBN sia $ 3r^2 $ . Determina le ampiezze degli angoli del quadrilatero MCBN"
(ris. 90°, 90°, 45°, 135°)
In questo sono riuscita a dimostrare i due angoli di 90°, ma non ho la più pallida idea di come svolgere il resto del problema... Anzi, un'idea ce l'avrei, solo che mi mancano tutti i dati e ho solo le ipotenuse dei due triangoli rettangoli...
Potreste aiutarmi??!?!!?
Grazie mille in anticipo
Pur avendoci provato almeno 200 volte, non riesco a risolvere questi due problemi:
1- "In una circonferenza di diametro AC=2r, conduci la corda AB congruente al lato del triangolo equilatero inscritto e, da parte opposta di AB rispetto ad AC, una corda AD; sia AH l'altezza del triangolo ABD. Determina la misura della corda AD in modo che sia verificata la relazione:
$ AB^2 + 2AD^2- 3AH^2 = 66/25 r^2 $
(ris. AD= 6/5 r
Dunque, in questo non ho capito nemmeno come fare il disegno, perchè parla di un triangolo equilatero che salta fuori dal nulla e non capisco cosa devo fare... Inoltre per me (nel disegno che ho fatto) AD e AB sono uguali? A voi non risulta così???



2-"Due circonferenze sono tangenti internamente nel punto A e hanno i diametri AC e AB che misurano rispettivamente 2r e 4r. Traccia per A una retta che incontra ulteriormente in M e in N le circonferenze di diametri AC e AB in modo che la misura dell'area del quadrilatero MCBN sia $ 3r^2 $ . Determina le ampiezze degli angoli del quadrilatero MCBN"
(ris. 90°, 90°, 45°, 135°)
In questo sono riuscita a dimostrare i due angoli di 90°, ma non ho la più pallida idea di come svolgere il resto del problema... Anzi, un'idea ce l'avrei, solo che mi mancano tutti i dati e ho solo le ipotenuse dei due triangoli rettangoli...
Potreste aiutarmi??!?!!?






Grazie mille in anticipo

Risposte
1)
Se $AB$ è congruente al lato del triangolo equilatero inscritto, allora $AB=rsqrt(3)$ e l'angolo $AhatDB=60°$. Per cui, posto $AD=x$, si ha che $AH=ADsqrt(3)/2=sqrt(3)/2x$ (il triangolo $ADH$ è metà di un triangolo equilatero di lato $AD=x$).
Allora l'equazione è
$3r^2+2x^2-3*3/4x^2=66/25r^2$, con $0<=x<=2r$.
Risolvendo si ottiene
$1/4x^2=9/25r^2->x^2=36/25r^2->x=6/5r$.
Se $AB$ è congruente al lato del triangolo equilatero inscritto, allora $AB=rsqrt(3)$ e l'angolo $AhatDB=60°$. Per cui, posto $AD=x$, si ha che $AH=ADsqrt(3)/2=sqrt(3)/2x$ (il triangolo $ADH$ è metà di un triangolo equilatero di lato $AD=x$).
Allora l'equazione è
$3r^2+2x^2-3*3/4x^2=66/25r^2$, con $0<=x<=2r$.
Risolvendo si ottiene
$1/4x^2=9/25r^2->x^2=36/25r^2->x=6/5r$.
Grazie mille
Io consideravo direttamente il triangolo ABD equilatero, ed è per questo che continuavo a sbagliare 
Il secondo, invece come lo svolgeresti?



Il secondo, invece come lo svolgeresti?

Cercando di risolvere il secondo problema, ho riscontrato qualcosa di strano. Chiedo ai più esperti un parere.
Siamo d'accordo sul fatto che i triangoli $ACM$ e $ABN$ sono sia rettangoli in $M$ e $N$ sia simili e il quadrilatero $MCBN$ é un trapezio rettangolo (non mi soffermo sui perché).
Ora, poiché l'area del trapezio deve risultare $3r^2$, si può scomporre la formula dell'area $((BN+CM)*h)/2$ e ottenere un'equazione (indico con $alpha$ l'angolo in $B$):
$((4r*cosalpha+2r*cosalpha)*(2r*sinalpha))/2=3r^2-> ((6r*cosalpha)*(2r*sinalpha))/2=3r^2-> (12r^2 *cosalpha*sinalpha)/2=3r^2$.
Togliendo il denominatore e sapendo che $r>0 $ si ottiene $12r^2*cosalpha*sinalpha=6r^2 -> 2*cosalpha*sinalpha=0$ e ciò vuol dire che o il seno o il coseno di alfa deve valere 0 per la L.A.P. ma ciò non é possibile secondo i risultati del libro.
Siamo d'accordo sul fatto che i triangoli $ACM$ e $ABN$ sono sia rettangoli in $M$ e $N$ sia simili e il quadrilatero $MCBN$ é un trapezio rettangolo (non mi soffermo sui perché).
Ora, poiché l'area del trapezio deve risultare $3r^2$, si può scomporre la formula dell'area $((BN+CM)*h)/2$ e ottenere un'equazione (indico con $alpha$ l'angolo in $B$):
$((4r*cosalpha+2r*cosalpha)*(2r*sinalpha))/2=3r^2-> ((6r*cosalpha)*(2r*sinalpha))/2=3r^2-> (12r^2 *cosalpha*sinalpha)/2=3r^2$.
Togliendo il denominatore e sapendo che $r>0 $ si ottiene $12r^2*cosalpha*sinalpha=6r^2 -> 2*cosalpha*sinalpha=0$ e ciò vuol dire che o il seno o il coseno di alfa deve valere 0 per la L.A.P. ma ciò non é possibile secondo i risultati del libro.
2)
Mi pare che si potrebbe ragionare così....
I triangoli $ANB$ e $AMC$ sono rettangoli in $hatN$ e $hatM$, simili e con rapporto di similitudine $k=2$, perché $AB=2AC$. Quindi il rapporto fra le loro aree è $k^2=4$. Perciò $S_(ANB)=4S_(AMC)$ e $S_(MCBN)=S_(ANB)-S_(AMC)=4S_(AMC)-S_(AMC)=3S_(AMC)=3/2AM*MC$.
Allora, posto $AM=x$ (con $0<=x<=2r$), si ha che $MC=sqrt(AC^2-AM^2)=sqrt(4r^2-x^2)$. Perciò l'equazione da risolvere è
$3/2xsqrt(4r^2-x^2)=3r^2->xsqrt(4r^2-x^2)=2r^2$.
Elevando al quadrato e risistemando i termini si ottiene
$x^2(4r^2-x^2)=4r^4->x^4-4r^2x^2+4r^4=0->(x^2-2r^2)^2=0->x=r sqrt(2)$.
Da cui
$AM=x=r sqrt(2)$,
$MC=sqrt(4r^2-x^2)=sqrt(4r^2-2r^2)=rsqrt(2)=AM$.
Perciò i triangoli $ANB$ e $AMC$ sono rettangoli e isosceli, quindi con angoli di $90°$, $45°$, $45°$.
Di conseguenza
$NhatMC=90°$,
$MhatCB=135°$,
$ChatBN=45°$,
$BhatNM=90°$.
Mi pare che si potrebbe ragionare così....
I triangoli $ANB$ e $AMC$ sono rettangoli in $hatN$ e $hatM$, simili e con rapporto di similitudine $k=2$, perché $AB=2AC$. Quindi il rapporto fra le loro aree è $k^2=4$. Perciò $S_(ANB)=4S_(AMC)$ e $S_(MCBN)=S_(ANB)-S_(AMC)=4S_(AMC)-S_(AMC)=3S_(AMC)=3/2AM*MC$.
Allora, posto $AM=x$ (con $0<=x<=2r$), si ha che $MC=sqrt(AC^2-AM^2)=sqrt(4r^2-x^2)$. Perciò l'equazione da risolvere è
$3/2xsqrt(4r^2-x^2)=3r^2->xsqrt(4r^2-x^2)=2r^2$.
Elevando al quadrato e risistemando i termini si ottiene
$x^2(4r^2-x^2)=4r^4->x^4-4r^2x^2+4r^4=0->(x^2-2r^2)^2=0->x=r sqrt(2)$.
Da cui
$AM=x=r sqrt(2)$,
$MC=sqrt(4r^2-x^2)=sqrt(4r^2-2r^2)=rsqrt(2)=AM$.
Perciò i triangoli $ANB$ e $AMC$ sono rettangoli e isosceli, quindi con angoli di $90°$, $45°$, $45°$.
Di conseguenza
$NhatMC=90°$,
$MhatCB=135°$,
$ChatBN=45°$,
$BhatNM=90°$.
si può anche ragionare sul fatto che l'area del triangolo $AMC$ corrisponde ad $1/3$ dell'area del quadrilatero MCBN $3r^2$ quindi area di $AMC=r^2$ sapendo che l'area dl quadrato inscritto in una circonferenza equivale a $2r^2$ possiamo concludere (lo faccio frettolosamente, perchè è facile da dimostrare) che $ChatBN=45°$
p.s.
ovviamente sapendo che 2 angoli sono retti, il quarto angolo deve essere di $135°$
p.s.
ovviamente sapendo che 2 angoli sono retti, il quarto angolo deve essere di $135°$
Ringrazio tutti quanti per avermi aiutato, in particolare @chiaraotta che mi ha fornito un'esauriente spiegazione

