Problemi di geometria
Ciao a tutti...
Pur avendoci provato almeno 200 volte, non riesco a risolvere questi due problemi:
1- "In una circonferenza di diametro AC=2r, conduci la corda AB congruente al lato del triangolo equilatero inscritto e, da parte opposta di AB rispetto ad AC, una corda AD; sia AH l'altezza del triangolo ABD. Determina la misura della corda AD in modo che sia verificata la relazione:
$ AB^2 + 2AD^2- 3AH^2 = 66/25 r^2 $
(ris. AD= 6/5 r
Dunque, in questo non ho capito nemmeno come fare il disegno, perchè parla di un triangolo equilatero che salta fuori dal nulla e non capisco cosa devo fare... Inoltre per me (nel disegno che ho fatto) AD e AB sono uguali? A voi non risulta così???
2-"Due circonferenze sono tangenti internamente nel punto A e hanno i diametri AC e AB che misurano rispettivamente 2r e 4r. Traccia per A una retta che incontra ulteriormente in M e in N le circonferenze di diametri AC e AB in modo che la misura dell'area del quadrilatero MCBN sia $ 3r^2 $ . Determina le ampiezze degli angoli del quadrilatero MCBN"
(ris. 90°, 90°, 45°, 135°)
In questo sono riuscita a dimostrare i due angoli di 90°, ma non ho la più pallida idea di come svolgere il resto del problema... Anzi, un'idea ce l'avrei, solo che mi mancano tutti i dati e ho solo le ipotenuse dei due triangoli rettangoli...
Potreste aiutarmi??!?!!?
Grazie mille in anticipo
Pur avendoci provato almeno 200 volte, non riesco a risolvere questi due problemi:
1- "In una circonferenza di diametro AC=2r, conduci la corda AB congruente al lato del triangolo equilatero inscritto e, da parte opposta di AB rispetto ad AC, una corda AD; sia AH l'altezza del triangolo ABD. Determina la misura della corda AD in modo che sia verificata la relazione:
$ AB^2 + 2AD^2- 3AH^2 = 66/25 r^2 $
(ris. AD= 6/5 r
Dunque, in questo non ho capito nemmeno come fare il disegno, perchè parla di un triangolo equilatero che salta fuori dal nulla e non capisco cosa devo fare... Inoltre per me (nel disegno che ho fatto) AD e AB sono uguali? A voi non risulta così???
2-"Due circonferenze sono tangenti internamente nel punto A e hanno i diametri AC e AB che misurano rispettivamente 2r e 4r. Traccia per A una retta che incontra ulteriormente in M e in N le circonferenze di diametri AC e AB in modo che la misura dell'area del quadrilatero MCBN sia $ 3r^2 $ . Determina le ampiezze degli angoli del quadrilatero MCBN"
(ris. 90°, 90°, 45°, 135°)
In questo sono riuscita a dimostrare i due angoli di 90°, ma non ho la più pallida idea di come svolgere il resto del problema... Anzi, un'idea ce l'avrei, solo che mi mancano tutti i dati e ho solo le ipotenuse dei due triangoli rettangoli...
Potreste aiutarmi??!?!!?
Grazie mille in anticipo
Risposte
1)
Se $AB$ è congruente al lato del triangolo equilatero inscritto, allora $AB=rsqrt(3)$ e l'angolo $AhatDB=60°$. Per cui, posto $AD=x$, si ha che $AH=ADsqrt(3)/2=sqrt(3)/2x$ (il triangolo $ADH$ è metà di un triangolo equilatero di lato $AD=x$).
Allora l'equazione è
$3r^2+2x^2-3*3/4x^2=66/25r^2$, con $0<=x<=2r$.
Risolvendo si ottiene
$1/4x^2=9/25r^2->x^2=36/25r^2->x=6/5r$.
Se $AB$ è congruente al lato del triangolo equilatero inscritto, allora $AB=rsqrt(3)$ e l'angolo $AhatDB=60°$. Per cui, posto $AD=x$, si ha che $AH=ADsqrt(3)/2=sqrt(3)/2x$ (il triangolo $ADH$ è metà di un triangolo equilatero di lato $AD=x$).
Allora l'equazione è
$3r^2+2x^2-3*3/4x^2=66/25r^2$, con $0<=x<=2r$.
Risolvendo si ottiene
$1/4x^2=9/25r^2->x^2=36/25r^2->x=6/5r$.
Grazie mille Io consideravo direttamente il triangolo ABD equilatero, ed è per questo che continuavo a sbagliare
Il secondo, invece come lo svolgeresti?
Io consideravo direttamente il triangolo ABD equilatero, ed è per questo che continuavo a sbagliare Il secondo, invece come lo svolgeresti?
Cercando di risolvere il secondo problema, ho riscontrato qualcosa di strano. Chiedo ai più esperti un parere.
Siamo d'accordo sul fatto che i triangoli $ACM$ e $ABN$ sono sia rettangoli in $M$ e $N$ sia simili e il quadrilatero $MCBN$ é un trapezio rettangolo (non mi soffermo sui perché).
Ora, poiché l'area del trapezio deve risultare $3r^2$, si può scomporre la formula dell'area $((BN+CM)*h)/2$ e ottenere un'equazione (indico con $alpha$ l'angolo in $B$):
$((4r*cosalpha+2r*cosalpha)*(2r*sinalpha))/2=3r^2-> ((6r*cosalpha)*(2r*sinalpha))/2=3r^2-> (12r^2 *cosalpha*sinalpha)/2=3r^2$.
Togliendo il denominatore e sapendo che $r>0 $ si ottiene $12r^2*cosalpha*sinalpha=6r^2 -> 2*cosalpha*sinalpha=0$ e ciò vuol dire che o il seno o il coseno di alfa deve valere 0 per la L.A.P. ma ciò non é possibile secondo i risultati del libro.
Siamo d'accordo sul fatto che i triangoli $ACM$ e $ABN$ sono sia rettangoli in $M$ e $N$ sia simili e il quadrilatero $MCBN$ é un trapezio rettangolo (non mi soffermo sui perché).
Ora, poiché l'area del trapezio deve risultare $3r^2$, si può scomporre la formula dell'area $((BN+CM)*h)/2$ e ottenere un'equazione (indico con $alpha$ l'angolo in $B$):
$((4r*cosalpha+2r*cosalpha)*(2r*sinalpha))/2=3r^2-> ((6r*cosalpha)*(2r*sinalpha))/2=3r^2-> (12r^2 *cosalpha*sinalpha)/2=3r^2$.
Togliendo il denominatore e sapendo che $r>0 $ si ottiene $12r^2*cosalpha*sinalpha=6r^2 -> 2*cosalpha*sinalpha=0$ e ciò vuol dire che o il seno o il coseno di alfa deve valere 0 per la L.A.P. ma ciò non é possibile secondo i risultati del libro.
2)
Mi pare che si potrebbe ragionare così....
I triangoli $ANB$ e $AMC$ sono rettangoli in $hatN$ e $hatM$, simili e con rapporto di similitudine $k=2$, perché $AB=2AC$. Quindi il rapporto fra le loro aree è $k^2=4$. Perciò $S_(ANB)=4S_(AMC)$ e $S_(MCBN)=S_(ANB)-S_(AMC)=4S_(AMC)-S_(AMC)=3S_(AMC)=3/2AM*MC$.
Allora, posto $AM=x$ (con $0<=x<=2r$), si ha che $MC=sqrt(AC^2-AM^2)=sqrt(4r^2-x^2)$. Perciò l'equazione da risolvere è
$3/2xsqrt(4r^2-x^2)=3r^2->xsqrt(4r^2-x^2)=2r^2$.
Elevando al quadrato e risistemando i termini si ottiene
$x^2(4r^2-x^2)=4r^4->x^4-4r^2x^2+4r^4=0->(x^2-2r^2)^2=0->x=r sqrt(2)$.
Da cui
$AM=x=r sqrt(2)$,
$MC=sqrt(4r^2-x^2)=sqrt(4r^2-2r^2)=rsqrt(2)=AM$.
Perciò i triangoli $ANB$ e $AMC$ sono rettangoli e isosceli, quindi con angoli di $90°$, $45°$, $45°$.
Di conseguenza
$NhatMC=90°$,
$MhatCB=135°$,
$ChatBN=45°$,
$BhatNM=90°$.
Mi pare che si potrebbe ragionare così....
I triangoli $ANB$ e $AMC$ sono rettangoli in $hatN$ e $hatM$, simili e con rapporto di similitudine $k=2$, perché $AB=2AC$. Quindi il rapporto fra le loro aree è $k^2=4$. Perciò $S_(ANB)=4S_(AMC)$ e $S_(MCBN)=S_(ANB)-S_(AMC)=4S_(AMC)-S_(AMC)=3S_(AMC)=3/2AM*MC$.
Allora, posto $AM=x$ (con $0<=x<=2r$), si ha che $MC=sqrt(AC^2-AM^2)=sqrt(4r^2-x^2)$. Perciò l'equazione da risolvere è
$3/2xsqrt(4r^2-x^2)=3r^2->xsqrt(4r^2-x^2)=2r^2$.
Elevando al quadrato e risistemando i termini si ottiene
$x^2(4r^2-x^2)=4r^4->x^4-4r^2x^2+4r^4=0->(x^2-2r^2)^2=0->x=r sqrt(2)$.
Da cui
$AM=x=r sqrt(2)$,
$MC=sqrt(4r^2-x^2)=sqrt(4r^2-2r^2)=rsqrt(2)=AM$.
Perciò i triangoli $ANB$ e $AMC$ sono rettangoli e isosceli, quindi con angoli di $90°$, $45°$, $45°$.
Di conseguenza
$NhatMC=90°$,
$MhatCB=135°$,
$ChatBN=45°$,
$BhatNM=90°$.
si può anche ragionare sul fatto che l'area del triangolo $AMC$ corrisponde ad $1/3$ dell'area del quadrilatero MCBN $3r^2$ quindi area di $AMC=r^2$ sapendo che l'area dl quadrato inscritto in una circonferenza equivale a $2r^2$ possiamo concludere (lo faccio frettolosamente, perchè è facile da dimostrare) che $ChatBN=45°$
p.s.
ovviamente sapendo che 2 angoli sono retti, il quarto angolo deve essere di $135°$
p.s.
ovviamente sapendo che 2 angoli sono retti, il quarto angolo deve essere di $135°$
Ringrazio tutti quanti per avermi aiutato, in particolare @chiaraotta che mi ha fornito un'esauriente spiegazione
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