Problemi di Analisi
Buonasera a tutti!
Sottopongo alla vostra attenzione i due quesiti seguenti.
1 Data una sfera di centro $O$ e diametro $AB=2r$, si consideri la retta $t$ tangente in $A$ alla sfera e un piano $tau$ passante per $t$; sia $gamma$ il cerchio intersezione tra sfera e piano. Individuare il luogo descritto dal centro di $gamma$ al variare del piano $tau$.
Non ho capito una cosa: il piano $tau$ è uno dei piani appartenenti al fascio proprio di sostegno $t$? In ogni caso, come faccio ad individuare il luogo? Fisso un sistema di riferimento cartesiano?
2 Verificare che tutte le curve di equazione $y=x^2/2+ln |ax+1|$ passano per uno stesso punto $P$.
Credo che dovrei studiare il fascio di funzioni in esame, determinando il punto base $P$, ma come?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea.
Sottopongo alla vostra attenzione i due quesiti seguenti.
1 Data una sfera di centro $O$ e diametro $AB=2r$, si consideri la retta $t$ tangente in $A$ alla sfera e un piano $tau$ passante per $t$; sia $gamma$ il cerchio intersezione tra sfera e piano. Individuare il luogo descritto dal centro di $gamma$ al variare del piano $tau$.
Non ho capito una cosa: il piano $tau$ è uno dei piani appartenenti al fascio proprio di sostegno $t$? In ogni caso, come faccio ad individuare il luogo? Fisso un sistema di riferimento cartesiano?
2 Verificare che tutte le curve di equazione $y=x^2/2+ln |ax+1|$ passano per uno stesso punto $P$.
Credo che dovrei studiare il fascio di funzioni in esame, determinando il punto base $P$, ma come?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea.
Risposte
2. L'unico modo per avere la funzione indipendente dal parametro è che il coefficiente del parametro si annulli. In questo caso il fattore da annullare è $x$, quando $x=0$ la funzione diventa $y(0)=ln1=0$, da cui segue che tutte le curve del fascio passano per $(0; 0) $
1. Costruisco la figura in modo che, intersecando la figura con il piano xy, il punto A coincida con l'origine, la sfera diventi una circonferenza con centro sull'asse delle x in $(r;0)$ e passante per l'origine, la tangente in A un punto (l'origine), il fascio di piani un fascio di rette per l'origine. In questo modo è facile individuare il luogo dei punti, che ristretto al piano xy è la circonferenza tangente internamente in A e di raggio $r/2$.
Il problema adesso è estendere allo spazio quanto ricavato per un piano, soprattutto perché nello spazio non si può parlare di una retta tangente ad una sfera in un punto, in quanto di rette tangenti ce ne sono infinite, tutte quelle che stanno sul piano tangente in quel punto.
1. Costruisco la figura in modo che, intersecando la figura con il piano xy, il punto A coincida con l'origine, la sfera diventi una circonferenza con centro sull'asse delle x in $(r;0)$ e passante per l'origine, la tangente in A un punto (l'origine), il fascio di piani un fascio di rette per l'origine. In questo modo è facile individuare il luogo dei punti, che ristretto al piano xy è la circonferenza tangente internamente in A e di raggio $r/2$.
Il problema adesso è estendere allo spazio quanto ricavato per un piano, soprattutto perché nello spazio non si può parlare di una retta tangente ad una sfera in un punto, in quanto di rette tangenti ce ne sono infinite, tutte quelle che stanno sul piano tangente in quel punto.
Chiarissima la risoluzione del quesito 2. Ho invece qualche dubbio per il quesito 1... In riferimento al piano $xAy$ fissato, perchè concludi che il luogo descritto dal centro della circonferenza $gamma$ sia una circonferenza di raggio $r/2$ tangente internamente alla circonferenza di centro $(r;0)$ passante per $A$?
Perché mi sono fatta tutti i conti:
ho intersecato la circonferenza $(x-r)^2+y^2=r^2$ con il fascio di rette passante per l'origine $y=mx$
ho trovato il punto medio che coincide con il centro delle circonferenze $M(r/(1+m^2);(rm)/(1+m^2))
ho eliminato il parametro m mettendo a sistema $x=r/(1+m^2)$ con $y=(rm)/(1+m^2)$ ottenendo la ciconferenza $x^2+y^2-rx=0$ che è appunto quella descritta.
ho intersecato la circonferenza $(x-r)^2+y^2=r^2$ con il fascio di rette passante per l'origine $y=mx$
ho trovato il punto medio che coincide con il centro delle circonferenze $M(r/(1+m^2);(rm)/(1+m^2))
ho eliminato il parametro m mettendo a sistema $x=r/(1+m^2)$ con $y=(rm)/(1+m^2)$ ottenendo la ciconferenza $x^2+y^2-rx=0$ che è appunto quella descritta.
Ok, capito. Ma come adattiamo il ragionamento allo spazio?!
Direi di lavorare per simmetria, visto che di tangenti ce ne sono infinite e ogni volta che prendo il piano perpendicolare alla tangente ottengo una circonferenza, il luogo cercato deve essere quello che contiene tutte le circonferenze tangenti alla sfera nel punto A e aventi raggio $r/2$, ossia la sfera tangente nel punto A a quella di partenza con raggio $r/2$.
"@melia":
Perché mi sono fatta tutti i conti:
ho intersecato la circonferenza $(x-r)^2+y^2=r^2$ con il fascio di rette passante per l'origine $y=mx$
ho trovato il punto medio che coincide con il centro delle circonferenze $M(r/(1+m^2);(rm)/(1+m^2))
ho eliminato il parametro m mettendo a sistema $x=r/(1+m^2)$ con $y=(rm)/(1+m^2)$ ottenendo la ciconferenza $x^2+y^2-rx=0$ che è appunto quella descritta.
Quando parli del centro delle circonferenze, intendi le circonferenze intersezione del piano $tau$ con la sfera?
Nel mio libro di testo, nel risultato viene scritto che il luogo è una circonferenza di diametro $AO$...
Che ci sia qualcosa che non va nel testo te l'ho segnalato subito, visto che parla di una tangente, mentre le tangenti sono infinite. Credo che l'autore abbia fatto un po' di confusione perché voleva far lavorare nello spazio, ma poi si è basato solo sul piano. Prova a controllare credo che il testo intenda indicare con O il centro della sfera e quindi indica lo stesso risultato nostro limitato al piano.
Come elimini il parametro $m$ dal sistema che ottieni? Ho provato in diversi modi, ma sicuramente mi sfugge qualcosa perchè non riesco ad eliminarlo...
Comunque sì, in realtà il testo è un po' impreciso...
Comunque sì, in realtà il testo è un po' impreciso...
$y/x=m$ e poi basta sostituirlo nell'equazione della x $x=r/(1+y^2/x^2)$ con la condizione $x!=0$, due conti ed è fatta
Ok, capito. Un'ultima cosa. Il quesito sin ora analizzato prosegue dicendo:
"Considerato il cono retto che ha $gamma$ per base e il vertice $V$ appartenente alla sfera e posizionato sempre da una stessa parte rispetto a $gamma$, esprimere il volume del cono al variare dell'angolo $alpha$ che il piano $tau$ forma con $AB$".
Non ho capito una cosa: che significa "posizionato sempre da una stessa parte rispetto a $gamma$"? Come posso sfruttare questa informazione per la costruzione?
"Considerato il cono retto che ha $gamma$ per base e il vertice $V$ appartenente alla sfera e posizionato sempre da una stessa parte rispetto a $gamma$, esprimere il volume del cono al variare dell'angolo $alpha$ che il piano $tau$ forma con $AB$".
Non ho capito una cosa: che significa "posizionato sempre da una stessa parte rispetto a $gamma$"? Come posso sfruttare questa informazione per la costruzione?
Mi spiego meglio, in teoria si potrebbero formare due coni in base alla posizione del vertice $V$ rispetto a $gamma$. Come faccio a scegliere il cono a cui fa riferimento il testo, se di scelta si può parlare?
Credo di capire che devi scegliere quello che preferisci, ovvero quello che scegli con coordinate positive. In pratica non devi imbarcarti in problemi con i valori assoluti o con angoli che diventano negativi.
Praticamente il vertice $V$ deve essere preferibilmente orientato verso semiasse positivo delle $y$ precedentemente fissato?
Visto che lo scegli tu, sì
Ok! Il problema mi è risultato ma ho avuto solo ora il tempo di comunicarlo! Da dire che il testo poteva essere espresso in maniera più precisa...
Vi ringrazio per la collaborazione!
Andrea
Vi ringrazio per la collaborazione!
Andrea
Ciao, Andrea a presto
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