Problemi congruenza triangoli
Per favore aiutatemi a risolvere questi 2 problemi.
1)Sia ABC n triangolo. Traccia la bisettrice di AB^C e indica con D il punto in cui interseca il lato AC. Considera quindi un punto P su DC e traccia da P la retta parallela a BD indicando con Q il punto in cui interseca la retta BC e con R il punto in cui interseca la retta AB.Dimostra che il triangolo BRQ e' isoscele.
2)Dato un triangolo scaleno ABC prolunga il lato AC, dalla parte di A, di un segmento AB'(congruente)AB e il lato AB,dalla parte di A, di un segmento AC'(congruente)AC. Indicato con P il punto d'intersezione della retta BC e della retta B'C', dimostra che:
a)I triangoli ABB' e ACC' sono isosceli;
b)I triangoli PBB' e PCC' sono isoceli;
c)La retta PA interseca CC' nel suo punto medio.
Grazie
1)Sia ABC n triangolo. Traccia la bisettrice di AB^C e indica con D il punto in cui interseca il lato AC. Considera quindi un punto P su DC e traccia da P la retta parallela a BD indicando con Q il punto in cui interseca la retta BC e con R il punto in cui interseca la retta AB.Dimostra che il triangolo BRQ e' isoscele.
2)Dato un triangolo scaleno ABC prolunga il lato AC, dalla parte di A, di un segmento AB'(congruente)AB e il lato AB,dalla parte di A, di un segmento AC'(congruente)AC. Indicato con P il punto d'intersezione della retta BC e della retta B'C', dimostra che:
a)I triangoli ABB' e ACC' sono isosceli;
b)I triangoli PBB' e PCC' sono isoceli;
c)La retta PA interseca CC' nel suo punto medio.
Grazie
Risposte
1) consideriamo le rette parallele e vediamo CB come una retta trasversale. Ne segue che l'angolo RQB è uguale all'angolo CBD e, per comodità, chiamo questi due angoli alfa.
L'angolo QRB, è 180-2alfa (infatti l'angolo CBA è 2 alfa in quanto BD è la bisettrice) quindi, dato che la somma degli angoli interno di un triangolo è 180, BRQ deve tassativamente essere uguale ad alfa.
IL triangolo BRQ ha quindi 2 angoli uguali, di conseguenza è isoscele.
per il secondo dovrai attendere un po' perchè devo uscire...
te lo posto tra qualche ora
L'angolo QRB, è 180-2alfa (infatti l'angolo CBA è 2 alfa in quanto BD è la bisettrice) quindi, dato che la somma degli angoli interno di un triangolo è 180, BRQ deve tassativamente essere uguale ad alfa.
IL triangolo BRQ ha quindi 2 angoli uguali, di conseguenza è isoscele.
per il secondo dovrai attendere un po' perchè devo uscire...
te lo posto tra qualche ora
Grazie sei stata molto gentile
Rieccomi.
Allora, vediamo i singoli punti:
a)I triangoli ABB' e ACC' sono isosceli perchè nel primo abbiamo AB=AB' per costruzione, nel secondo AC=AC' sempre per costruzione. Quindi, avendo entrambi 2 lati uguali sono necessariamente isosceli.
b) uniamo B con B'.
AB'C'= ABC per costruzione quindi gli angoli AB'C' e ABC sono uguali.
Ne segue che PBB' è isoscele perchè ha angoli alla base uguali (in quanto formati dalla somma di angoli uguali).
Essendo isoscele PB=PB', ma, dato che B'C'=BC anche PC=PC' in quanto risulta PC=PB-CB e PC'=PB'-C'B'.
Quindi anche il triangolo PCC' è isoscele.
Aggiunto 14 minuti più tardi:
c) ACPC' è un deltoide e AP e CC' sono le due diagonali. Per definizione, in questo particolare quadrilatero, esse sono ortogonali tra di loro. Chiamato M il punto d'intersezione tra CC' e AP , risulta che PM e MA sono le altezze dei triangoli rispettivamente PCC' e ACC' ed essendo questi isosceli risulta che CM=MC'(infatti nei triangoli isosceli,l'altezza relativa alla base, oltre ad essere bisettrice, divide la base in 2 segmenti uguali)
Allora, vediamo i singoli punti:
a)I triangoli ABB' e ACC' sono isosceli perchè nel primo abbiamo AB=AB' per costruzione, nel secondo AC=AC' sempre per costruzione. Quindi, avendo entrambi 2 lati uguali sono necessariamente isosceli.
b) uniamo B con B'.
AB'C'= ABC per costruzione quindi gli angoli AB'C' e ABC sono uguali.
Ne segue che PBB' è isoscele perchè ha angoli alla base uguali (in quanto formati dalla somma di angoli uguali).
Essendo isoscele PB=PB', ma, dato che B'C'=BC anche PC=PC' in quanto risulta PC=PB-CB e PC'=PB'-C'B'.
Quindi anche il triangolo PCC' è isoscele.
Aggiunto 14 minuti più tardi:
c) ACPC' è un deltoide e AP e CC' sono le due diagonali. Per definizione, in questo particolare quadrilatero, esse sono ortogonali tra di loro. Chiamato M il punto d'intersezione tra CC' e AP , risulta che PM e MA sono le altezze dei triangoli rispettivamente PCC' e ACC' ed essendo questi isosceli risulta che CM=MC'(infatti nei triangoli isosceli,l'altezza relativa alla base, oltre ad essere bisettrice, divide la base in 2 segmenti uguali)
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