Problemi con un integrale..
sarà forse semplice... ma non riesco a capire quale metodo applicare per risolvere questo integrale:$int(x/x-1)^(1/2)dx senza rendere "farraginosa" la procedura.. help,please!
Risposte
"ifigenia":
sarà forse semplice... ma non riesco a capire quale metodo applicare per risolvere questo integrale:$int(x/(x-1))^(1/2)dx$ senza rendere "farraginosa" la procedura.. help,please!
Per prima cosa puoi riscrivere l'integrale così
$\int (1 + \frac{1}{x-1})^{\frac{1}{2}}dx$
e puoi fare la sostituzione $\frac{1}{x-1}=t$, $x=1+\frac{1}{t}$, $dx = -\frac{1}{t^2}dt$, quindi
$-\int (1+t)^{\frac{1}{2}} \frac{1}{t^2} dt$
Ora si può fare quest'altra sostituzione, $(1+t)^{\frac{1}{2}} = u$, $1+t = u^2$, $t=u^2-1$, $dt=2udu$, e da qui dovrebbe venire.
$\int (1 + \frac{1}{x-1})^{\frac{1}{2}}dx$
e puoi fare la sostituzione $\frac{1}{x-1}=t$, $x=1+\frac{1}{t}$, $dx = -\frac{1}{t^2}dt$, quindi
$-\int (1+t)^{\frac{1}{2}} \frac{1}{t^2} dt$
Ora si può fare quest'altra sostituzione, $(1+t)^{\frac{1}{2}} = u$, $1+t = u^2$, $t=u^2-1$, $dt=2udu$, e da qui dovrebbe venire.
grazie x la risposta..ho provato a risolverlo in questo modo ma dovrei ottenere un ln che cosi' non ho .. 
Facendo la sostituzione con $u$ l'integrale diventa
$-\int u \frac{2u}{(u^2 - 1)}du$
e integrando per parti si trova questa soluzione
$\frac{u}{u^2 - 1} - \frac{1}{2} \ln(\frac{u-1}{u+1})+C$
e come vedi c'è anche un logaritmo.
$-\int u \frac{2u}{(u^2 - 1)}du$
e integrando per parti si trova questa soluzione
$\frac{u}{u^2 - 1} - \frac{1}{2} \ln(\frac{u-1}{u+1})+C$
e come vedi c'è anche un logaritmo.
ok.. Sai ho trovato anche un'altro modo per risolverlo:ho razionalizzato moltiplicando per (x-1)^1/2, ho fatto una sostituzione t=(x-1)^1/2 e ho applicato il metodo per parti..é venuto anche così 
CIAO
CIAO
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