Problemi con Teoremi di Euclide e Pitagora
Scusatemi non so ancora come funziona, non sapevo che dovevo scrivervi qui!
Ci sono questi due problemi che non riesco a risolvere... io e la geometria stiamo sempre litigate -.-"
Determinare il perimetro di un triangolo rettangolo, sapendo che l'area è cm²80 e che l'ipotenusa è divisa dalla relativa altezza in due parti, una quadrupla dell'altra.
i dati quindi sono:
Area = 80
AC(che sarebbe l'ipotenusa) = AH·5
bene qui mi sono bloccata.. come faccio a ricavarmi il perimetro??
il libro come risultato mi porta questo [4(5+3√5)].
Invece l'altro problema è:
In un triangolo rettangolo l'ipotenusa è cm 50 e le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa stanno come 16:9. Determinare il perimetro e l'area del triangolo dato. Risultato: [120; 600]
Ci sono questi due problemi che non riesco a risolvere... io e la geometria stiamo sempre litigate -.-"
Determinare il perimetro di un triangolo rettangolo, sapendo che l'area è cm²80 e che l'ipotenusa è divisa dalla relativa altezza in due parti, una quadrupla dell'altra.
i dati quindi sono:
Area = 80
AC(che sarebbe l'ipotenusa) = AH·5
bene qui mi sono bloccata.. come faccio a ricavarmi il perimetro??
il libro come risultato mi porta questo [4(5+3√5)].
Invece l'altro problema è:
In un triangolo rettangolo l'ipotenusa è cm 50 e le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa stanno come 16:9. Determinare il perimetro e l'area del triangolo dato. Risultato: [120; 600]
Risposte
Devi risolverlo con le equazioni di primo grado, o con la geometria euclidea?
Beh credo con le equazioni di primo grado, visto che sul libro c'è scritto esercizi e problemi di primo grado..
Eh, se non lo sai tu :D
Sappiamo che l'Area e' 80 cm^2.
Sappiamo inoltre che l'ipotenusa e' secata dall'altezza in due parti, una il quadruplo dell'altra.
Chiamiamo x uno di queste due parti: di conseguenza l'altra parte sara' 4x (e di conseguenza l'ipotenusa sara' 5x)
L'Area del triangolo e'
La base la conosciamo (e' 5x, ovvero l'ipotenusa).
Ci occorre ora l'altezza, espressa in funzione della base..
Per il secondo teorema di Euclide, sappiamo che l'altezza e' "medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa (ovvero ciascuna delle due parti in cui l'altezza divide l'ipotenusa)
Detta AB l'ipotenusa e CH l'altezza, tale regola si traduce con:
Da cui
E quindi per quanto detto in premessa:
e quindi
L'area dunque sara'
Quindi
Pertanto l'ipotenusa sara'
e le due proiezioni rispettivamente
Per trovare il perimetro ti occorrono i cateti.
Per il primo teorema di Euclide, il quadrato di ogni cateto e' uguale alla sua proiezione per l'ipotenusa.
Quindi un cateto sara' dato da
Altro modo poteva essere utilizzare il Teorema di Pitagora sui due triangoli rettangoli ACH e BCH, di cui conosci i cateti di entrambi (di uno saranno AH e CH e dell'altro BH e CH, doce CH era 2x quindi 8 )
Vedrai che anche con il teorema di Pitagora i cateti vengono uguali (ovviamente, e.... meno male! :D )
Ora, non so se avete gia' lavorato con i radicali, in caso affermativo
Se hai altre domande chiedi pure.
Sappiamo che l'Area e' 80 cm^2.
Sappiamo inoltre che l'ipotenusa e' secata dall'altezza in due parti, una il quadruplo dell'altra.
Chiamiamo x uno di queste due parti: di conseguenza l'altra parte sara' 4x (e di conseguenza l'ipotenusa sara' 5x)
L'Area del triangolo e'
[math] \frac{b \cdot h}{2}=80 \ cm^2 [/math]
La base la conosciamo (e' 5x, ovvero l'ipotenusa).
Ci occorre ora l'altezza, espressa in funzione della base..
Per il secondo teorema di Euclide, sappiamo che l'altezza e' "medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa (ovvero ciascuna delle due parti in cui l'altezza divide l'ipotenusa)
Detta AB l'ipotenusa e CH l'altezza, tale regola si traduce con:
[math] \bar{AH} : \bar{CH} = \bar {CH} : \bar{HB} [/math]
Da cui
[math] \bar{CH}^2= \bar{AH} \cdot \bar{HB} [/math]
E quindi per quanto detto in premessa:
[math] \bar{CH}^2= x \cdot 4x = 4x^2 [/math]
e quindi
[math] \bar{CH}= \sqrt{4x^2}=2x [/math]
L'area dunque sara'
[math] A= \frac{5x \cdot 2x}{2} = 80 cm^2 [/math]
Quindi
[math] \frac{10x^2}{2}=80 \to 5x^2=80 \to x^2=16 \to x= \sqrt{16}=4 [/math]
Pertanto l'ipotenusa sara'
[math] 5x=5 \cdot 4 = 20 [/math]
e le due proiezioni rispettivamente
[math] x=4 \ e \ 4x=4 \cdot 4 = 16 [/math]
Per trovare il perimetro ti occorrono i cateti.
Per il primo teorema di Euclide, il quadrato di ogni cateto e' uguale alla sua proiezione per l'ipotenusa.
Quindi un cateto sara' dato da
[math] \sqrt{4 \cdot 20}= \sqrt{80} [/math]
e l'altro sara' [math] \sqrt{16 \cdot 20}= \sqrt{320} [/math]
Altro modo poteva essere utilizzare il Teorema di Pitagora sui due triangoli rettangoli ACH e BCH, di cui conosci i cateti di entrambi (di uno saranno AH e CH e dell'altro BH e CH, doce CH era 2x quindi 8 )
Vedrai che anche con il teorema di Pitagora i cateti vengono uguali (ovviamente, e.... meno male! :D )
Ora, non so se avete gia' lavorato con i radicali, in caso affermativo
[math] \sqrt{80}= 4 \sqrt5 [/math]
e [math] \sqrt{320}=8 \sqrt5 [/math]
Se hai altre domande chiedi pure.
Non so come ringraziarla, mi è stato davvero d'aiuto!
Grazie per la sua chiarezza e disponibiltà!
Grazie per la sua chiarezza e disponibiltà!
Dammi pure del tu :cry :box :D
Alla fine si trova 4√5+8√5
se faccio il raccoglimento totale mi trovo devo fare così
4√5+8√5;
2√5(2+4).
Ma il libro si trova 4(5+3√5)
cos'è sbagliato?
se faccio il raccoglimento totale mi trovo devo fare così
4√5+8√5;
2√5(2+4).
Ma il libro si trova 4(5+3√5)
cos'è sbagliato?
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