Problemi con similitudine
Mi potreste risolvere questi problemi che non ci capisco niente!! >.<
Teorema delle secanti e delle tangenti;
1) E' data una circonferenza di diametro ab e raggio r. Una corda cd è parallela ad ab (ac
Teorema delle secanti e delle tangenti;
1) E' data una circonferenza di diametro ab e raggio r. Una corda cd è parallela ad ab (ac
Risposte
1)
Per il t. delle corde sappiamo che:
FG:CG = GD:EG
e cioè
CG*GD = FG*EG = (3/5)r^2
Chiamando H il punto in cui EF interseca AB, abbiamo che:
GH distanza tra AB e CD (nostra incognita)
OH distanza tra EF e O = (3/5)r
Essendo EF perpendicolare ad AB, possiamo calcolare la misura del tratto FH applicando il t. di pitagora:
FH = sqr (OF^2 - OH^2)
ma OF = r, per cui abbiamo
FH = sqr (r^2 - ((3/5)r)^2) = sqr (r^2 - (9/25)r^2) =
= sqr ((16/25)r^2) = (4/5)r
Essendo EF perpendicolare al diametro AB abbiamo che i tratti FH e EH sono uguali (criteri di congruenza tra triangoli rettangoli) per cui possiamo scrivere:
FG = FH + GH = (4/5)r + GH
EG = EH - GH = (4/5)r - GH
quindi
FG*GH = (4/5)r^2
((4/5)r + GH)*((4/5)r - GH) = (4/5)r^2
((4/5)r)^2 - GH^2 = (4/5)r^2
(16/25)r^2 - (4/5)r^2 = GH^2
GH^2 = (1/25)r^2
GH = sqr ((1/25)r^2) = (1/5)r
... adesso vedo se riesco a risolvere anche il secondo
:hi
Massimiliano
Aggiunto 1 ora 18 minuti più tardi:
Scusa abbi pazienza ma mi sono dovuto assentare...
... adesso riprendo a pensarci su.
Aggiunto 37 minuti più tardi:
2)
forse ci siamo...
allora i triangoli CPY e APX sono triangoli simili in quanto hanno gli angoli corrispondenti congruenti:
Angolo in C = Angolo in A (angolo tra le diagonale e un lato del quadrato ABCD)
Angolo PYC = Angolo PXC (angoli alterni interni di parallele, i lati AB e CD del quadrato, tagliati da secante, il segmento XY)
di conseguenza anche gli angoli APX e CPY sono uguali.
Se i triangoli sono simili, il rapporto delle aree è uguale al quadrato del rapporto tra i lati, quindi:
sappiamo che
AP/PC = 3
di conseguenza
Aapx / Acpy = (AP/PC)^2 = 3^2 = 9
cioè
Aapx = 9*Acpy
ma sappiamo anche che
Aapx + Acpy = (5/2)a^2
sostituendo l'espressione di Aapx in funzione di Acpy abbiamo
9*Acpy + Acpy = (5/2)a^2
10*Acpy = (5/2)a^2
Acpy = (5/2)a^2 * (1/10) = (1/4)a^2
e di conseguenza l'area Aapx
Aapx = 9*Acpy = (9/4)a^2
A questo punto calcoliamo la misura di AC e AP
AC = lq*sqr2 = 4a*sqr 2
sappiamo che AP=3*PC, di conseguenza
AP = (3/4)*AC = (3/4)*4a*sqr 2 = 3a*sqr 2
chiamando PK l'altezza del triangolo APX rispetto al lato AX, abbiamo che anche i triangoli ABC e AKP sono simili, sempre perchè hanno gli angoli corrispondenti congruenti, quindi possiamo scrivere la seguente proporzione:
AC:AP = CB:PK
e da questa ricavare PK
PK = (AP*CB)/AC = ((3a*sqr 2)*4a)/4a*sqr 2 = 3a
A questo punto, avendo il valore dell'area del triangolo APX e dell'altezza PK, possiamo ricavare la misura di AX:
Aapx = AX*PK/2
da cui
AX = Aapx*2/PK = ((9/4)a^2)*2/3a = (3/2)a
... ecco fatto finalmente :D :D
:hi
Massimiliano
Per il t. delle corde sappiamo che:
FG:CG = GD:EG
e cioè
CG*GD = FG*EG = (3/5)r^2
Chiamando H il punto in cui EF interseca AB, abbiamo che:
GH distanza tra AB e CD (nostra incognita)
OH distanza tra EF e O = (3/5)r
Essendo EF perpendicolare ad AB, possiamo calcolare la misura del tratto FH applicando il t. di pitagora:
FH = sqr (OF^2 - OH^2)
ma OF = r, per cui abbiamo
FH = sqr (r^2 - ((3/5)r)^2) = sqr (r^2 - (9/25)r^2) =
= sqr ((16/25)r^2) = (4/5)r
Essendo EF perpendicolare al diametro AB abbiamo che i tratti FH e EH sono uguali (criteri di congruenza tra triangoli rettangoli) per cui possiamo scrivere:
FG = FH + GH = (4/5)r + GH
EG = EH - GH = (4/5)r - GH
quindi
FG*GH = (4/5)r^2
((4/5)r + GH)*((4/5)r - GH) = (4/5)r^2
((4/5)r)^2 - GH^2 = (4/5)r^2
(16/25)r^2 - (4/5)r^2 = GH^2
GH^2 = (1/25)r^2
GH = sqr ((1/25)r^2) = (1/5)r
... adesso vedo se riesco a risolvere anche il secondo
:hi
Massimiliano
Aggiunto 1 ora 18 minuti più tardi:
Scusa abbi pazienza ma mi sono dovuto assentare...
... adesso riprendo a pensarci su.
Aggiunto 37 minuti più tardi:
2)
forse ci siamo...
allora i triangoli CPY e APX sono triangoli simili in quanto hanno gli angoli corrispondenti congruenti:
Angolo in C = Angolo in A (angolo tra le diagonale e un lato del quadrato ABCD)
Angolo PYC = Angolo PXC (angoli alterni interni di parallele, i lati AB e CD del quadrato, tagliati da secante, il segmento XY)
di conseguenza anche gli angoli APX e CPY sono uguali.
Se i triangoli sono simili, il rapporto delle aree è uguale al quadrato del rapporto tra i lati, quindi:
sappiamo che
AP/PC = 3
di conseguenza
Aapx / Acpy = (AP/PC)^2 = 3^2 = 9
cioè
Aapx = 9*Acpy
ma sappiamo anche che
Aapx + Acpy = (5/2)a^2
sostituendo l'espressione di Aapx in funzione di Acpy abbiamo
9*Acpy + Acpy = (5/2)a^2
10*Acpy = (5/2)a^2
Acpy = (5/2)a^2 * (1/10) = (1/4)a^2
e di conseguenza l'area Aapx
Aapx = 9*Acpy = (9/4)a^2
A questo punto calcoliamo la misura di AC e AP
AC = lq*sqr2 = 4a*sqr 2
sappiamo che AP=3*PC, di conseguenza
AP = (3/4)*AC = (3/4)*4a*sqr 2 = 3a*sqr 2
chiamando PK l'altezza del triangolo APX rispetto al lato AX, abbiamo che anche i triangoli ABC e AKP sono simili, sempre perchè hanno gli angoli corrispondenti congruenti, quindi possiamo scrivere la seguente proporzione:
AC:AP = CB:PK
e da questa ricavare PK
PK = (AP*CB)/AC = ((3a*sqr 2)*4a)/4a*sqr 2 = 3a
A questo punto, avendo il valore dell'area del triangolo APX e dell'altezza PK, possiamo ricavare la misura di AX:
Aapx = AX*PK/2
da cui
AX = Aapx*2/PK = ((9/4)a^2)*2/3a = (3/2)a
... ecco fatto finalmente :D :D
:hi
Massimiliano
Ciao Massimiliano,
entrambi giusti! Grazie infinite del tempo dedicato loro xDD
entrambi giusti! Grazie infinite del tempo dedicato loro xDD
... prego figurati...
... mi hanno fatto un po' dannare (soprattutto il secondo), ma alla fine è andato tutto per il verso giusto.
:hi
Massimiliano
... mi hanno fatto un po' dannare (soprattutto il secondo), ma alla fine è andato tutto per il verso giusto.
:hi
Massimiliano
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