Problemi con risoluzione limiti
Oggi la prof mi ha assegnato degli esercizi di potenziamento sui limiti..si tratta di alcuni problemi alla fine dei quali mi dovrei trovare a calcolare dei limiti..soltanto che trovo delle difficoltà già nell'impostare questi problemi (sto messa bene eh? 
)..vabbè la faccio corta..questi sono due degli esercizi in cui ho riscontrato delle difficoltà:
1- data la semicirconferenza di centro O e diametro $AB=2r$, sia $AC=sqrt2 r$ una sua corda. Considerato su $AO$ un punto P, detti Q ed R i punti in cui la perpendicolare condotta per P ad $AC$ incontra rispettivamente AC e la semicirconferenza, determinare $lim_(P->A)((PQ)/(QR))$
non so da che parte cominciare...cioè io intuitivamente dico che il limite fa 1 ma come faccio a calcolarlo?
2-Data l'equazione $(m-2)x^2 -2(m-1)x + m-1 =0$ determina il limite per m che tende ad 1 del rapporto tra la somma dei quadrati delle radici e il prodotto delle radici dell'equazione
qui il problema è relativo alle radici dell'equazione. Sarebbero??
Intanto Grazie =) !!!
)..vabbè la faccio corta..questi sono due degli esercizi in cui ho riscontrato delle difficoltà:1- data la semicirconferenza di centro O e diametro $AB=2r$, sia $AC=sqrt2 r$ una sua corda. Considerato su $AO$ un punto P, detti Q ed R i punti in cui la perpendicolare condotta per P ad $AC$ incontra rispettivamente AC e la semicirconferenza, determinare $lim_(P->A)((PQ)/(QR))$
non so da che parte cominciare...cioè io intuitivamente dico che il limite fa 1 ma come faccio a calcolarlo?
2-Data l'equazione $(m-2)x^2 -2(m-1)x + m-1 =0$ determina il limite per m che tende ad 1 del rapporto tra la somma dei quadrati delle radici e il prodotto delle radici dell'equazione
qui il problema è relativo alle radici dell'equazione. Sarebbero??
Intanto Grazie =) !!!
Risposte
ciao
partiamo dal secondo problema.
in un'equazione di secondo grado del tipo:
$ax^2+bx+c=0$
sussistono le seguenti relazioni tra radici e coefficienti:
$x_1+x_2=-b/a$
$x_1*x_2=c/a$
da queste ricaviamo la seguente relazione (nota anche come formula di Waring):
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2*x_1x_2=(-b/a)^2-2*c/a$
adesso prova ad andare avanti
le radici sono le soluzioni, ma non occorre calcolarsele, viste le relazioni precedenti.
partiamo dal secondo problema.
in un'equazione di secondo grado del tipo:
$ax^2+bx+c=0$
sussistono le seguenti relazioni tra radici e coefficienti:
$x_1+x_2=-b/a$
$x_1*x_2=c/a$
da queste ricaviamo la seguente relazione (nota anche come formula di Waring):
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2*x_1x_2=(-b/a)^2-2*c/a$
adesso prova ad andare avanti
"Lucky91":
qui il problema è relativo alle radici dell'equazione. Sarebbero??
le radici sono le soluzioni, ma non occorre calcolarsele, viste le relazioni precedenti.
..ok qui ci sono..grazie mille!!! e per l'altro??
La corda AC è quella che congiunge A con il punto medio della semicirconferenza (è inclinata di 45° sul diametro). Su AO prendi il punto P e indichi $bar(AP)=x$ con $0<=x<=r$ e ovviamente per $P->A$ si ha che $x->0$.
Il triangolo APQ è rettangolo isoscele, quindi $bar(PQ)=x/sqrt2$, $bar(PR)=r$, quindi $bar(QR)=r-x/sqrt2$, adesso basta impostare il limite
$lim_(P->A) bar(PQ)/bar(QR)=lim_(x->0) (x/sqrt2)/(r-x/sqrt2)=0/r=0$
Il triangolo APQ è rettangolo isoscele, quindi $bar(PQ)=x/sqrt2$, $bar(PR)=r$, quindi $bar(QR)=r-x/sqrt2$, adesso basta impostare il limite
$lim_(P->A) bar(PQ)/bar(QR)=lim_(x->0) (x/sqrt2)/(r-x/sqrt2)=0/r=0$
Grazie mille..l'unica cosa che non capisco è perchè poni $PR=r$..
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