Problemi con risoluzione di sistemi parametrici

[Princeps1]

Due parabole $gamma_(1)$ e $gamma_(2)$ (con asse di simmetria parallelo all'asse y) passano per $A(1;1)$; $gamma_(1)$ ha vertice in $O(0;0)$ e $gamma_(2)$ in V(3;0). Determinare una retta per A, di coefficiente angolare positivo e minore di 1, che intersechi $gamma_(1)$ in B e $gamma_(2)$ in C, tale che $bar(BC)=15/4 sqrt(5)$. Successivamente, determinare un punto P sull'arco OA di $gamma_(1)$ e un punto Q sull'arco VA di $gamma_(2)$ aventi la stessa ordinata, in modo che il perimetro del rettangolo che ha per lati PQ e la distanza di P dall'asse x misuri 2p.

Ho trovato le due parabole:
$gamma_(1): y=x^2$
$gamma_(2): y=1/4x^2-3/2x+9/4$

Non ho idea però di come continuare , ho pensato di dare ai punti P e Q come valore dell'ascissa m(x-1)+1 e come valore dell'ordinata in un caso $x^2$ e nell'altro $1/4x^2-3/2x+9/4$, ma non sono certo sia questa la via che dice molte cose...

[IlaCrazy]

Uhm,hai la soluzione? che ho provato a fare un procedimento ma non vorrei darti la soluzione sbagliata e fare una bella figura ghghg

[Princeps1]

Certo: la retta è $y=1/2x+1/2$ e c'è una soluzione per $1

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[IlaCrazy]

Allora,per trovare la retta procedi in questo modo:
PARTE 1

Dal momento che per un punto A passano infinite rette,usa l'equazione del fascio di rette per un punto. Ottieni che: $y=mx-m+1$.
Quindi risolvi 2 sistemi:
una prima volta un sistema tra $y=mx-m+1$ e la parabola $y1$ e la seconda volta tra il fascio e la parabola $y2$.
In tal modo ottieni dei valori dei 2 punti in funzione di m. Sostituendoli nella relazione conosciuta secondo cui:
$BC=15/4sqrt5$ otteini proprio il valore della retta $y= 1/2x+1/2$

[Princeps1]

${(y=mx-m+1),(y=x^2):}
${(x^2-mx+m-1=0),(y=x^2):}


${(y=mx-m+1),(y=1/4x^2-3/2x+9/4):}
${(1/4x^2+(m-3/2)x+13/4=0),(y=1/4x^2-3/2x+9/4):}

Ma i punti sarebbero $P(x^2;x^2-mx+m-1)$ e $Q(1/4x^2-3/2x+9/4;1/4x^2+(m-3/2)x+13/4)$?

[IlaCrazy]

No,devi esprimerli tutti in funzione di M.
Ottieni quindi:

Nel primo caso,risolvendo normalmente l'equazione col delta ottieni che:
$B(m-1; (m-1)^2))$
Nel secondo,invece, ottieni che:
$C(4m+5; (2m+1)^2)$

[Princeps1]

Ma l'ordinata di Q non è $4m^2-16m+13/4$? (Visto che è un punto della seconda parabola).

Ma poi dovrei fare il sistema:

${(y_(P)=mx_(P)-m+1),(y_(Q)=mx_(Q)-m+1):}


Quindi:
${((m - 1)^2 = m·(m - 1) - m + 1),((4·m + 5)^2 = m·(4·m^2 - 16·m + 13/4) - m + 1):}

Che mi porta a dei risultati che mi lasciano alquanto perplesso...

[IlaCrazy]

Nel modo che io ti ho indicato trovi i valori delle coordinate di B e C, non siamo ancora passati alla parte 2 in cui analizziamo il valore di P e Q...

[Princeps1]

"IlaCrazy":Nel modo che io ti ho indicato trovi i valori delle coordinate di B e C, non siamo ancora passati alla parte 2 in cui analizziamo il valore di P e Q...

Sì scusa, ho confuso.

Sostituisci P con A e Q con B... ^^.