Problemi con modello di Malthus
-Sapendo che la popolazione di carpe in un dato fiume raddoppia ogni 3 anni, determinare il numero di anni necessari perché la popolazione sia aumentata di un fattore 10.
(scrivere il risultato come un logaritmo con base opportuna).
-Il tasso annuo di crescita individuale di una popolazione di cinciallegre e pari a -0,2. Se si parte da una popolazione di 1000 individui, dopo quanti anni la popolazione si estingue?
(scrivere il risultato come un logaritmo con base opportuna).
-Il tasso annuo di crescita individuale di una popolazione di cinciallegre e pari a -0,2. Se si parte da una popolazione di 1000 individui, dopo quanti anni la popolazione si estingue?
Risposte
Formula generale
Se $i$ è il tasso annuo di crescita ed $x_0$ il numero iniziale, dopo un anno si ha $x_1=x_0(1+i)$; dopo 2 anni si ha $x_2=x_1(1+i)=x_0(1+i)^2$, eccetera. Dopo $n$ anni si ha quindi
$x_n=x_0(1+i)^n$
Primo problema
Sai che $x_3=2x_0$ e che $x_n=10x_0$ e quindi imposti il sistema
${(2x_0=x_0(1+i)^3),(10x_0=x_0(1+i)^n):}$
Dalla prima equazione ricavi $1+i$ e lo sostituisci nella seconda; passando ai logaritmi ricavi $n$.
Secondo problema
Sai che $x_0=1000$ e che $i=-0,2$ ed ottieni la formula
$x_n=1000(1-0.2)^n=1000*0.8^n$
In teoria il risultato non è mai zero e quindi la risposta dovrebbe essere "Mai"; in pratica è evidente che un unico individuo non può riprodursi e quindi puoi ricavare $n$ imponendo che sia $x_n=1$. La popolazione potrebbe anche estinguersi prima, se i pochi individui restanti sono tutti dello stesso sesso.
Se $i$ è il tasso annuo di crescita ed $x_0$ il numero iniziale, dopo un anno si ha $x_1=x_0(1+i)$; dopo 2 anni si ha $x_2=x_1(1+i)=x_0(1+i)^2$, eccetera. Dopo $n$ anni si ha quindi
$x_n=x_0(1+i)^n$
Primo problema
Sai che $x_3=2x_0$ e che $x_n=10x_0$ e quindi imposti il sistema
${(2x_0=x_0(1+i)^3),(10x_0=x_0(1+i)^n):}$
Dalla prima equazione ricavi $1+i$ e lo sostituisci nella seconda; passando ai logaritmi ricavi $n$.
Secondo problema
Sai che $x_0=1000$ e che $i=-0,2$ ed ottieni la formula
$x_n=1000(1-0.2)^n=1000*0.8^n$
In teoria il risultato non è mai zero e quindi la risposta dovrebbe essere "Mai"; in pratica è evidente che un unico individuo non può riprodursi e quindi puoi ricavare $n$ imponendo che sia $x_n=1$. La popolazione potrebbe anche estinguersi prima, se i pochi individui restanti sono tutti dello stesso sesso.
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