Problemi con linee di livello di una funzione in due variabili

[Math365]

Ciao ragazzi ! Mi serve il vostro aiuto
Ho dubbi nel trovare le linee di livello della seguente funzione :


z = x² + y² - 4x - 4y


Sono riuscito a trovare il sistema , ovvero :

{ z = x² + y² - 4x - 4y
{ z = k

E quindi se non erro il risultato sarà :

x² + y² - 4x - 4y - k = 0


Ma poi come si procede ? Non riesco a capire !

Grazie per eventuali risposte

[@melia]

Le linee di livello, in questo caso, sono delle circonferenze. Affinché una circonferenza $x^2+y^2+ax+by+c=0$ sia reale, poiché il raggio è espresso dalla $r=1/2sqrt(a^2+b^2-4c)$, bisogna che $a^2+b^2-4c >=0$, tuttavia nel caso in cui $a^2+b^2-4c =0$ la circonferenza si riduce ad un punto che coincide con il suo centro.

Sostituendo i dati del problema si ha $(-4)^2+(-4)^2-4*(-k)>=0$
$32+4k>=0$ che diventa $k>= -8$ perciò

Se $k< -8$ il piano $z=k$ non interseca la funzione

Se $k= -8$ il piano $z=k$ interseca la funzione in un unico punto $(2; 2)$ che è il centro della circonferenza degenere.

Se $k> -8$ il piano $z=k$ interseca la funzione in una circonferenza di centro $(2; 2)$ e raggio $r=1/2sqrt((-4)^2+(-4)^2+4k)= sqrt(8+k)$

[Math365]

Innanzitutto grazie mille per la risposta !

Come si fa a trovare il punto (2;2) ?
Inoltre , posso dargli un nome / lettera a mio piacere ? [ Esempio : C (2;2) ]

[@melia]

Nell'equazione della circonferenza $x^2+y^2+ax+by+c=0$ le coordinate del centro sono $(-a/2; -b/2)$, nello specifico, quindi $(-(-4)/2; -(-4)/2) = (2;2)$, puoi dargli un nome, ma tieni conto che le vere coordinate del punto sono $(2; 2; k)$ e che non si tratta di un punto solo, ma ogni linea di livello k ha il centro della circonferenza che ha $x_c=2$ e $y_c=2$, mentre $z_c=k$, con $k>= -8$. Per esempio potresti chiamarlo $C_k$, in questo modo evidenzieresti il fatto che pur avendo la stessa x e la stessa y, i centri sono a livelli diversi in funzione del valore di k.

[Math365]

Grazie !