Problemi con la similitudine (208653)

[maccallscoot]

1. Un rettangolo di perimetro 28 dm è inscritto in un triangolo di base AB=16 dm e l'altezza CH=12 dm. Calcola le dimensioni del rettangolo.

2. Disegna una circonferenza di centro O e raggio raggio 2r. Disegna un'altra circonferenza tangente esternamente alla prima nel punto P, di centro O' è raggio r. Traccia nella circonferenza di centro O una corda PA e nella circonferenza di centro O' una corda PB, entrambe nello stesso semipiano rispetto alla retta OO' e tali che PA=2PB. Supponi inoltre che l'angolo BPO sia 30•. Determina:
a- PA e PB
b- il perimetro del triangolo PBA
graziw in anticipo

[carlogiannini]

Es. 1
FIGURA 1
Chiamando x e y rispettivamente la base e l'altezza del rettangolo inscritto sappiamo che:
2x + 2y = 28
quindi:
x + y = 14
y = 14 - x
.
Facendo la similitudine tra i triangoli
ABC e DFC
possiamo scrivere:
12 : 16 = CH : DF
Ora:
CH = 12 - y = 12 - (14 - x) = x - 2
DF = x
per cui abbiamo:
12 : 16 = (x - 2) : x
.
16(x - 2) = 12x
16x - 32 = 12x
16x - 12x = 32
4x = 32
x = 32/4 = 8
y = 14 - 8 = 6
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Aggiunto 45 minuti più tardi:

Es. 2
FIGURA 2
L'angolo BPO non può essere di 60° (DEVE essere più di 90°, vedi la figura), quindi penso che sia un errore di battitura.
Penso che l'angolo di 60° sia BPO' (controlla).
Su queste basi:
angolo BPO' = 60°
il triangolo BPO' è un sesto di esagono regolare, quindi è un triangolo equilatero, quindi:
PB = R
analogamente:
PA = 2R
in quanto anche il triangolo APO è equilatero perché è simile al triangolo BPO' avendo i lati proporzionali:
OP e OA (raggi della prima circonferenza) sono entrambi doppi di O'P e O'B (raggi della seconda circonferenza)
e
AP è il doppio di BP per costruzione.
.
Ora guardiamo il triangolo PAB.
Esso è metà triangolo equilatero perché:
AP = 2PB
angolo APB = 180° - APO - BPO' = 180° -60° - 60° = 60°
Quindi il lato AB è l'altezza del (mezzo) triangolo equilatero, cioè:

[math]AB=h=\frac{L}{2}\sqrt3=R\sqrt3[/math]

.
.
Perimetro di PAB =

[math]2R+R+R\sqrt3=3R+R\sqrt3=R(3+\sqrt3)[/math]

[maccallscoot]

Grazie mille per gli esercizi. Una domanda per il primo esercizio la proporzione puoi spiegarmela per favore

[carlogiannini]

Altezza grande : Base Grande = altezza piccola : base piccola
Altezza grande e base grande sono l'altezza e la base del triangolo ACB. Altezza piccola e base piccola sono l'altezza e la base del triangolino DCF.
CH e DF le ho calcolate ponendo
EG = DF = x
CH = 12 (altezza "totale") - DE (altezza del rettangolo